Номер 10.13, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.13. 1) $\frac{5}{2x+3} - \frac{2x-3}{x+1} = 10;$

2) $\frac{x-3}{x} - \frac{x+5}{x-3} = 3.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{5}{2x+3} - \frac{2x-3}{x+1} = 10 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$2x+3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -1.5$

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Чтобы избавиться от дробей, приведем уравнение к общему знаменателю $(2x+3)(x+1)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая ОДЗ:

$5(x+1) - (2x-3)(2x+3) = 10(2x+3)(x+1)$

Теперь раскроем скобки. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части выполним умножение многочленов.

$5x + 5 - ( (2x)^2 - 3^2 ) = 10(2x^2 + 2x + 3x + 3)$

$5x + 5 - (4x^2 - 9) = 10(2x^2 + 5x + 3)$

Упростим выражение:

$-4x^2 + 5x + 14 = 20x^2 + 50x + 30$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$0 = 20x^2 + 4x^2 + 50x - 5x + 30 - 14$

$24x^2 + 45x + 16 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 45^2 - 4 \cdot 24 \cdot 16 = 2025 - 1536 = 489$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-45 + \sqrt{489}}{2 \cdot 24} = \frac{-45 + \sqrt{489}}{48}$

$x_2 = \frac{-45 - \sqrt{489}}{2 \cdot 24} = \frac{-45 - \sqrt{489}}{48}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1.5$ и $x \neq -1$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = \frac{-45 + \sqrt{489}}{48}$, $x_2 = \frac{-45 - \sqrt{489}}{48}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x-3}{x} - \frac{x+5}{x-3} = 3 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x \neq 0$

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Приведем уравнение к общему знаменателю $x(x-3)$ и умножим на него обе части уравнения:

$(x-3)(x-3) - x(x+5) = 3x(x-3)$

Раскроем скобки в уравнении:

$(x^2 - 6x + 9) - (x^2 + 5x) = 3x^2 - 9x$

Упростим левую часть:

$x^2 - 6x + 9 - x^2 - 5x = 3x^2 - 9x$

$-11x + 9 = 3x^2 - 9x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 9x + 11x - 9 = 0$

$3x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 4 + 108 = 112$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-2 \pm 4\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{7}}{6}$

Сократим дробь на 2, разделив числитель и знаменатель:

$x = \frac{2(-1 \pm 2\sqrt{7})}{6} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{7}}{3}$

Таким образом, мы получили два корня:

$x_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{7}}{3}$

$x_2 = \frac{-1 - 2\sqrt{7}}{3}$

Оба корня не равны 0 или 3, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{-1 - 2\sqrt{7}}{3}$.