Номер 10.12, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (10.12–10.15):

10.12. 1) $ \frac{x}{x-4} - \frac{1}{x+1} = \frac{2-x}{x+1} + \frac{3}{x-4} $

2) $ \frac{2}{2x-1} + \frac{3}{x-3} = \frac{1+x}{x-3} + \frac{x}{2x-1} $

1) Решим уравнение $\frac{x}{x-4} - \frac{1}{x+1} = \frac{2-x}{x+1} + \frac{3}{x-4}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Теперь перегруппируем члены уравнения, собрав дроби с одинаковыми знаменателями в одной части:
$\frac{x}{x-4} - \frac{3}{x-4} = \frac{2-x}{x+1} + \frac{1}{x+1}$
Выполним вычитание и сложение дробей:
$\frac{x-3}{x-4} = \frac{2-x+1}{x+1}$
$\frac{x-3}{x-4} = \frac{3-x}{x+1}$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$\frac{x-3}{x-4} - \frac{3-x}{x+1} = 0$
Так как $3-x = -(x-3)$, заменим это в уравнении:
$\frac{x-3}{x-4} - \frac{-(x-3)}{x+1} = 0$
$\frac{x-3}{x-4} + \frac{x-3}{x+1} = 0$
Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:
$(x-3) \left(\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+1}\right) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x-3 = 0 \implies x_1 = 3$. Этот корень входит в ОДЗ.
2. $\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+1} = 0$. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(x+1) + (x-4)}{(x-4)(x+1)} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (знаменатель не равен нулю согласно ОДЗ).
$x+1+x-4 = 0$
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$. Этот корень также входит в ОДЗ.
Ответ: $1.5; 3$.

2) Решим уравнение $\frac{2}{2x-1} + \frac{3}{x-3} = \frac{1+x}{x-3} + \frac{x}{2x-1}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$2x - 1 \neq 0 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2}$
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
Перегруппируем члены уравнения, чтобы дроби с одинаковыми знаменателями оказались в одной части:
$\frac{2}{2x-1} - \frac{x}{2x-1} = \frac{1+x}{x-3} - \frac{3}{x-3}$
Упростим обе части уравнения:
$\frac{2-x}{2x-1} = \frac{1+x-3}{x-3}$
$\frac{2-x}{2x-1} = \frac{x-2}{x-3}$
Перенесем все в левую часть:
$\frac{2-x}{2x-1} - \frac{x-2}{x-3} = 0$
Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Подставим:
$\frac{-(x-2)}{2x-1} - \frac{x-2}{x-3} = 0$
Вынесем общий множитель $-(x-2)$ за скобки:
$-(x-2) \left(\frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-3}\right) = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$(x-2) \left(\frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-3}\right) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $x-2 = 0 \implies x_1 = 2$. Корень входит в ОДЗ.
2. $\frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-3} = 0$. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(x-3) + (2x-1)}{(2x-1)(x-3)} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$x-3+2x-1 = 0$
$3x - 4 = 0$
$3x = 4$
$x_2 = \frac{4}{3}$. Этот корень также входит в ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{3}; 2$.