Номер 10.11, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.11. При каком значении x значение функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 3}$ равно:

1) -4;

2) -2,5;

3) 0;

4) 6,5;

5) 7;

6) 12?

Для решения задачи сначала упростим заданную функцию $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 3}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

2. Разложим числитель $x^2 + 2x - 3$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -2$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

3. Таким образом, числитель можно представить в виде $(x - 1)(x + 3)$.

4. Подставим разложенный числитель обратно в функцию: $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 3)}{x + 3}$.

5. При условии, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$. Упрощенная функция имеет вид: $f(x) = x - 1$.

Теперь мы можем найти значения $x$ для каждого случая, решая уравнение $x - 1 = y$, где $y$ — заданное значение функции, и проверяя, удовлетворяет ли найденный $x$ ОДЗ.

1) -4;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = -4$. Используя упрощенную форму функции:
$x - 1 = -4$
$x = -4 + 1$
$x = -3$
Однако, это значение $x = -3$ исключено из области допустимых значений функции. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором функция равна -4.
Ответ: решений нет.

2) -2,5;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = -2,5$:
$x - 1 = -2,5$
$x = -2,5 + 1$
$x = -1,5$
Полученное значение $x = -1,5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = -1,5$.

3) 0;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 0$:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Полученное значение $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 1$.

4) 6,5;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 6,5$:
$x - 1 = 6,5$
$x = 6,5 + 1$
$x = 7,5$
Полученное значение $x = 7,5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 7,5$.

5) 7;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 7$:
$x - 1 = 7$
$x = 7 + 1$
$x = 8$
Полученное значение $x = 8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 8$.

6) 12;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 12$:
$x - 1 = 12$
$x = 12 + 1$
$x = 13$
Полученное значение $x = 13$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 13$.