Страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В результате преобразований заменили дробно-рациональное уравнение квадратным уравнением. Всегда ли эти уравнения равносильны?

2. Что может произойти с количеством корней дробно-рационального уравнения, если учесть только то, что значение дроби равно нулю, когда ее числитель равен нулю?

1. Нет, не всегда. Дробно-рациональное уравнение вида $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ и квадратное уравнение (полученное из числителя, например, $P(x) = 0$) равносильны только в том случае, если множества их корней совпадают. При переходе от дробно-рационального уравнения к уравнению, полученному приравниванием числителя к нулю, мы избавляемся от знаменателя, что может привести к расширению области допустимых значений (ОДЗ). Это, в свою очередь, может привести к появлению посторонних корней.

Посторонние корни — это корни уравнения $P(x) = 0$, которые не входят в ОДЗ исходного дробно-рационального уравнения, то есть те значения переменной, при которых знаменатель $Q(x)$ обращается в ноль.

Рассмотрим пример. Пусть дано дробно-рациональное уравнение:

$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Для решения мы приравниваем числитель к нулю и получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 9 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить, входят ли эти корни в ОДЗ исходного уравнения. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, следовательно, он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, исходное дробно-рациональное уравнение имеет только один корень $x = -3$, в то время как полученное из него квадратное уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$. Поскольку множества их корней ( $\{-3\}$ и $\{-3, 3\}$ ) не совпадают, эти уравнения не являются равносильными.

Ответ: Нет, дробно-рациональное уравнение и полученное из него квадратное уравнение не всегда равносильны, так как при преобразовании могут появиться посторонние корни, которые являются корнями квадратного уравнения, но не удовлетворяют области допустимых значений исходного уравнения.

2. Если при решении дробно-рационального уравнения $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ учитывать только условие равенства числителя нулю ($P(x) = 0$) и игнорировать условие, что знаменатель не должен быть равен нулю ($Q(x) \neq 0$), то количество найденных корней может оказаться больше, чем истинное количество корней исходного уравнения.

Это происходит потому, что среди корней уравнения $P(x) = 0$ могут оказаться такие значения переменной, которые обращают в ноль знаменатель $Q(x)$. Такие корни называются посторонними, и они не являются решениями исходного дробно-рационального уравнения. Таким образом, пренебрежение проверкой по ОДЗ может привести к увеличению числа корней за счет добавления посторонних.

Рассмотрим тот же пример:

$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$

Если мы учитываем только то, что числитель равен нулю, мы решаем $x^2 - 9 = 0$ и находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Таким образом, мы получаем два решения.

Однако правильное решение требует также проверки условия $x - 3 \neq 0$. Значение $x = 3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому оно является посторонним корнем. Истинное решение только одно: $x = -3$.

Таким образом, из-за упрощенного подхода количество корней увеличилось с одного до двух.

В общем случае, количество корней может либо остаться прежним (если ни один из корней числителя не обращает в ноль знаменатель), либо увеличиться. Уменьшиться количество корней не может, так как любой корень исходного уравнения обязательно является корнем числителя.

Ответ: Количество найденных корней может увеличиться за счет появления посторонних корней, то есть тех корней числителя, которые обращают знаменатель в ноль и не являются решениями исходного уравнения.

10.1. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{x+3} = 0;$

2) $\frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{5x - 6}{x^2 - 4} = 0;$

3) $\frac{x+2}{x} - \frac{5x+1}{x+1} = 0;$

4) $\frac{2x-1}{x+7} - \frac{3x+4}{x-1} = 0;$

5) $\frac{2x^2}{x-7} + \frac{7x-6}{2-x} = 0;$

6) $\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{x+3} = 0 $

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их в одну дробь:

$ \frac{x^2 - x}{x+3} = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x + 3 \neq 0 $, откуда $ x \neq -3 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$ x^2 - x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(x - 1) = 0 $

Отсюда получаем два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 0 \neq -3 $ и $ 1 \neq -3 $), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: 0; 1.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{5x - 6}{x^2 - 4} = 0 $

Объединим дроби, так как у них общий знаменатель:

$ \frac{x^2 - (5x - 6)}{x^2 - 4} = 0 $

$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = 0 $

ОДЗ: $ x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 $. Значит, $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Приравняем числитель к нулю:

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $

Используя теорему Виета, находим корни: сумма корней равна 5, произведение равно 6. Это корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 2 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{x+2}{x} - \frac{5x+1}{x+1} = 0 $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ x(x+1) $:

$ \frac{(x+2)(x+1)}{x(x+1)} - \frac{(5x+1)x}{x(x+1)} = 0 $

$ \frac{(x+2)(x+1) - x(5x+1)}{x(x+1)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (x+2)(x+1) - x(5x+1) = 0 $

$ x^2 + x + 2x + 2 - 5x^2 - x = 0 $

$ -4x^2 + 2x + 2 = 0 $

Разделим обе части на -2 для упрощения:

$ 2x^2 - x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4} $

$ x_1 = \frac{1+3}{4} = 1 $

$ x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -0.5; 1.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{2x-1}{x+7} - \frac{3x+4}{x-1} = 0 $

ОДЗ: $ x+7 \neq 0 \implies x \neq -7 $ и $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x+7)(x-1) $:

$ \frac{(2x-1)(x-1) - (3x+4)(x+7)}{(x+7)(x-1)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (2x-1)(x-1) - (3x+4)(x+7) = 0 $

$ (2x^2 - 2x - x + 1) - (3x^2 + 21x + 4x + 28) = 0 $

$ (2x^2 - 3x + 1) - (3x^2 + 25x + 28) = 0 $

$ 2x^2 - 3x + 1 - 3x^2 - 25x - 28 = 0 $

$ -x^2 - 28x - 27 = 0 $

Умножим на -1:

$ x^2 + 28x + 27 = 0 $

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $ x_1 = -1 $, $ x_2 = -27 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -27; -1.

5)

Исходное уравнение: $ \frac{2x^2}{x-7} + \frac{7x-6}{2-x} = 0 $

ОДЗ: $ x-7 \neq 0 \implies x \neq 7 $ и $ 2-x \neq 0 \implies x \neq 2 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-7)(2-x) $:

$ \frac{2x^2(2-x) + (7x-6)(x-7)}{(x-7)(2-x)} = 0 $

Приравниваем числитель к нулю:

$ 2x^2(2-x) + (7x-6)(x-7) = 0 $

$ 4x^2 - 2x^3 + 7x^2 - 49x - 6x + 42 = 0 $

Приводим подобные члены:

$ -2x^3 + 11x^2 - 55x + 42 = 0 $

Умножим уравнение на -1:

$ 2x^3 - 11x^2 + 55x - 42 = 0 $

Это кубическое уравнение. Попытка найти целые или рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях показывает, что таких корней у уравнения нет. Решение данного уравнения требует более сложных методов, выходящих за рамки стандартной школьной программы. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: В рациональных числах корней нет.

6)

Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x} $

ОДЗ: $ 2x+3 \neq 0 \implies x \neq -1.5 $ и $ 3-2x \neq 0 \implies x \neq 1.5 $.

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ (x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3 $

Приведем подобные члены:

$ -2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3 $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ -2x^2 - 4x^2 + 5x - 4x - 3 + 3 = 0 $

$ -6x^2 + x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(-6x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$ x_1 = 0 $ или $ -6x + 1 = 0 \implies 6x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{6} $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 1/6.

10.2. 1) $ \frac{x^2}{x+4} - 2 = 0; $

2) $ \frac{x^2}{2x+3} - \frac{x}{2} = 0; $

3) $ \frac{x^2 - 4}{4} - \frac{2x + 3}{2} = 0; $

4) $ \frac{x^2 + 4x}{x+2} - \frac{2x}{3} = 0. $

1) $\frac{x^2}{x+4} - 2 = 0$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Перенесем 2 в правую часть уравнения и умножим обе части на знаменатель $x+4$:

$\frac{x^2}{x+4} = 2$

$x^2 = 2(x+4)$

$x^2 = 2x + 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 2, а произведение равно -8.

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -4$), следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $4; -2$.

2) $\frac{x^2}{2x+3} - \frac{x}{2} = 0$

Найдем ОДЗ: знаменатель $2x+3$ не должен быть равен нулю.

$2x+3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -1.5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2(2x+3)$:

$\frac{2 \cdot x^2}{2(2x+3)} - \frac{x \cdot (2x+3)}{2(2x+3)} = 0$

$\frac{2x^2 - x(2x+3)}{2(2x+3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравниваем числитель к нулю:

$2x^2 - x(2x+3) = 0$

$2x^2 - 2x^2 - 3x = 0$

$-3x = 0$

$x = 0$

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq -1.5$), поэтому является решением уравнения.

Ответ: $0$.

3) $\frac{x^2-4}{4} - \frac{2x+3}{2} = 0$

В данном уравнении знаменатели являются числами, поэтому ОДЗ — все действительные числа ($x \in R$).

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{x^2-4}{4} - \frac{2(2x+3)}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x^2-4) - 2(2x+3) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 4x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 16 + 40 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 2 \pm \sqrt{14}$

Ответ: $2 - \sqrt{14}; 2 + \sqrt{14}$.

4) $\frac{x^2+4x}{x+2} - \frac{2x}{3} = 0$

Найдем ОДЗ: знаменатель $x+2$ не должен быть равен нулю.

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3(x+2)$:

$\frac{3(x^2+4x)}{3(x+2)} - \frac{2x(x+2)}{3(x+2)} = 0$

$\frac{3(x^2+4x) - 2x(x+2)}{3(x+2)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$3(x^2+4x) - 2x(x+2) = 0$

$3x^2 + 12x - 2x^2 - 4x = 0$

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+8) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x+8=0 \implies x_2 = -8$

Оба корня ($0$ и $-8$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$), значит, они являются решениями.

Ответ: $-8; 0$.

10.3. 1) $ \frac{x^2 - 2x}{x - 1} - \frac{2x - 1}{1 - x} = 3; $

2) $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 4; $

3) $ \frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x^2 - 4x} = 0,625; $

4) $ \frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x - 12} = 3. $

1) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 2x}{x - 1} - \frac{2x - 1}{1 - x} = 3$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$ и $1 - x \neq 0$. В обоих случаях получаем, что $x \neq 1$.

Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить как $1 - x = -(x - 1)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} - \frac{2x - 1}{-(x - 1)} = 3$

Знак "минус" перед дробью можно вынести, и он изменится на "плюс":

$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} + \frac{2x - 1}{x - 1} = 3$

Так как у дробей теперь одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{x^2 - 2x + 2x - 1}{x - 1} = 3$

Упростим числитель:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 3$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 3$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$x + 1 = 3$

Решаем полученное линейное уравнение:

$x = 3 - 1$

$x = 2$

Полученный корень $x = 2$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: 2.

2) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 4$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, $x - 3 \neq 0$ и $3 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $3 - x = -(x - 3)$.

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{-(x - 3)} = 4$

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 3} = 4$

Теперь вычтем числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{(x^2 - 2x + 1) - (x + 1)}{x - 3} = 4$

$\frac{x^2 - 2x + 1 - x - 1}{x - 3} = 4$

$\frac{x^2 - 3x}{x - 3} = 4$

Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x(x - 3)}{x - 3} = 4$

Сократим дробь на $(x - 3)$, так как по ОДЗ $x \neq 3$:

$x = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

3) Исходное уравнение: $\frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x^2 - 4x} = 0,625$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$. Разложим второй знаменатель: $x^2 - 4x = x(x - 4)$. Отсюда $x(x - 4) \neq 0$, что дает $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x(x - 4)} = \frac{5}{8}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 4)$:

$\frac{2x}{x(x - 4)} + \frac{4}{x(x - 4)} = \frac{5}{8}$

$\frac{2x + 4}{x(x - 4)} = \frac{5}{8}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(2x + 4) = 5(x^2 - 4x)$

$16x + 32 = 5x^2 - 20x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 20x - 16x - 32 = 0$

$5x^2 - 36x - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 1296 + 640 = 1936$

Так как $\sqrt{1936} = 44$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 44}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 44}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0,8$

Оба корня, $x = 8$ и $x = -0,8$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).

Ответ: -0,8; 8.

4) Исходное уравнение: $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x - 12} = 3$.

ОДЗ: разложим первый знаменатель на множители $x^2 - 12x = x(x - 12)$. Условия на знаменатели: $x(x - 12) \neq 0$ и $x - 12 \neq 0$. Отсюда получаем $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 12)$:

$\frac{36}{x(x - 12)} - \frac{3x}{x(x - 12)} = 3$

$\frac{36 - 3x}{x(x - 12)} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x - 12)$, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$36 - 3x = 3 \cdot x(x - 12)$

$36 - 3x = 3x^2 - 36x$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$12 - x = x^2 - 12x$

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 12x + x - 12$

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим это уравнение по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 11$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Методом подбора находим корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 12$).

Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

10.4.

1) $\frac{2x - 5}{x + 5} + \frac{3x + 4}{x + 2} = 1;$

2) $\frac{2x + 1}{x - 3} + \frac{2x - 3}{4x + 3} = -7\frac{1}{11};$

3) $\frac{4 - 3x}{x + 1} + \frac{x + 1}{4 - 3x} = \frac{50}{7};$

4) $\frac{2x - 5}{3x + 1} + \frac{21x + 7}{2x - 5} = 8.$

1) $\frac{2x - 5}{x + 5} + \frac{3x + 4}{x + 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 5 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(x+2)$:

$\frac{(2x - 5)(x + 2)}{(x + 5)(x + 2)} + \frac{(3x + 4)(x + 5)}{(x + 5)(x + 2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на $(x+5)(x+2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$(2x - 5)(x + 2) + (3x + 4)(x + 5) = (x + 5)(x + 2)$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 4x - 5x - 10) + (3x^2 + 15x + 4x + 20) = x^2 + 2x + 5x + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x - 10) + (3x^2 + 19x + 20) = x^2 + 7x + 10$

$5x^2 + 18x + 10 = x^2 + 7x + 10$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$5x^2 - x^2 + 18x - 7x + 10 - 10 = 0$

$4x^2 + 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(4x + 11) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$4x + 11 = 0 \implies 4x = -11 \implies x_2 = -\frac{11}{4} = -2.75$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($0 \neq -5, 0 \neq -2$ и $-2.75 \neq -5, -2.75 \neq -2$).

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2.75$.

2) $\frac{2x + 1}{x - 3} + \frac{2x - 3}{4x + 3} = -7\frac{1}{11}$

ОДЗ: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $4x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{4}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-7\frac{1}{11} = -\frac{78}{11}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-3)(4x+3)$:

$\frac{(2x + 1)(4x + 3) + (2x - 3)(x - 3)}{(x - 3)(4x + 3)} = -\frac{78}{11}$

Раскроем скобки в числителе: $(8x^2 + 6x + 4x + 3) + (2x^2 - 6x - 3x + 9) = 10x^2 + x + 12$.

Раскроем скобки в знаменателе: $4x^2 + 3x - 12x - 9 = 4x^2 - 9x - 9$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{10x^2 + x + 12}{4x^2 - 9x - 9} = -\frac{78}{11}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$11(10x^2 + x + 12) = -78(4x^2 - 9x - 9)$

$110x^2 + 11x + 132 = -312x^2 + 702x + 702$

Перенесем все члены в левую часть:

$110x^2 + 312x^2 + 11x - 702x + 132 - 702 = 0$

$422x^2 - 691x - 570 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-691)^2 - 4(422)(-570) = 477481 + 962160 = 1439641$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{691 \pm \sqrt{1439641}}{2 \cdot 422} = \frac{691 \pm \sqrt{1439641}}{844}$

Корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{691 - \sqrt{1439641}}{844}, x_2 = \frac{691 + \sqrt{1439641}}{844}$.

3) $\frac{4 - 3x}{x + 1} + \frac{x + 1}{4 - 3x} = \frac{50}{7}$

ОДЗ: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $4 - 3x \neq 0 \implies x \neq \frac{4}{3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{4 - 3x}{x + 1}$. Тогда вторая дробь будет $\frac{1}{y}$.

Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = \frac{50}{7}$

Умножим обе части на $7y$ (где $y \neq 0$):

$7y^2 + 7 = 50y$

$7y^2 - 50y + 7 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-50)^2 - 4(7)(7) = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$

$y_2 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Теперь выполним обратную замену:

Случай 1: $\frac{4 - 3x}{x + 1} = 7$

$4 - 3x = 7(x + 1)$

$4 - 3x = 7x + 7$

$-3 = 10x \implies x_1 = -0.3$

Случай 2: $\frac{4 - 3x}{x + 1} = \frac{1}{7}$

$7(4 - 3x) = x + 1$

$28 - 21x = x + 1$

$27 = 22x \implies x_2 = \frac{27}{22}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -0.3, x_2 = \frac{27}{22}$.

4) $\frac{2x - 5}{3x + 1} + \frac{21x + 7}{2x - 5} = 8$

ОДЗ: $3x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$ и $2x - 5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{2}$.

Заметим, что числитель второй дроби можно упростить: $21x + 7 = 7(3x+1)$.

Уравнение переписывается в виде:

$\frac{2x - 5}{3x + 1} + \frac{7(3x + 1)}{2x - 5} = 8$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{2x - 5}{3x + 1}$. Тогда второй член равен $\frac{7}{y}$.

Уравнение принимает вид:

$y + \frac{7}{y} = 8$

Умножим обе части на $y$ (где $y \neq 0$):

$y^2 + 7 = 8y$

$y^2 - 8y + 7 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$y_1 = 1, y_2 = 7$

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\frac{2x - 5}{3x + 1} = 1$

$2x - 5 = 3x + 1$

$-x = 6 \implies x_1 = -6$

Случай 2: $\frac{2x - 5}{3x + 1} = 7$

$2x - 5 = 7(3x + 1)$

$2x - 5 = 21x + 7$

$-19x = 12 \implies x_2 = -\frac{12}{19}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = -\frac{12}{19}$.

10.5. 1) $\frac{2x}{x^2 + 2} = \frac{3x^2}{x^2 + 2}$;

2) $\frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4}$;

3) $\frac{4x}{x^2 - 9} = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$;

4) $\frac{3x - 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}$.

1) Дано уравнение $\frac{2x}{x^2 + 2} = \frac{3x^2}{x^2 + 2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 2$ всегда положителен ($x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2 \ge 2$).
Поскольку знаменатели дробей равны и не обращаются в ноль, мы можем приравнять их числители:
$2x = 3x^2$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$3x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
$x = 0$ или $3x - 2 = 0$
Решая второе уравнение, получаем $3x = 2$, откуда $x = \frac{2}{3}$.
Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$, входят в область допустимых значений.
Ответ: $0; \frac{2}{3}$.

2) Дано уравнение $\frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2 - 4$ не должен быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
На ОДЗ мы можем приравнять числители:
$2x = x^2$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два потенциальных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ.
Корень $x = 0$ удовлетворяет условиям $x \neq 2$ и $x \neq -2$, следовательно, является решением уравнения.
Корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет только одно решение.
Ответ: $0$.

3) Дано уравнение $\frac{4x}{x^2 - 9} = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2 - 9$ не должен быть равен нулю.
$x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$4x = x^2 + 3$
Запишем это как стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив на множители. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Это корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
$(x - 1)(x - 3) = 0$
Проверим корни на принадлежность ОДЗ.
Корень $x = 1$ удовлетворяет условиям $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.
Единственным решением является $x=1$.
Ответ: $1$.

4) Дано уравнение $\frac{3x - 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2 - 16$ не должен быть равен нулю.
$x^2 - 16 \neq 0 \implies (x - 4)(x + 4) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Приравниваем числители:
$3x - 4 = x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$
Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: нет корней.

10.6. 1) $ \frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5} $

2) $ \frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6} $

1) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5} $.
Первым шагом преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: полный квадрат суммы $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $ и разность квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
$ x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2 $
$ 25 - x^2 = 5^2 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5) $
Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:
$ \frac{2}{(x+5)^2} - \frac{10}{-(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5} $
Упростим выражение, изменив знак перед второй дробью:
$ \frac{2}{(x+5)^2} + \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5 $
$ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 $
ОДЗ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty) $.
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $ (x-5)(x+5)^2 $.
$ \frac{2(x-5)}{(x-5)(x+5)^2} + \frac{10(x+5)}{(x-5)(x+5)^2} = \frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)^2} $
Теперь мы можем приравнять числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:
$ 2(x-5) + 10(x+5) = (x+5)^2 $
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$ 2x - 10 + 10x + 50 = x^2 + 10x + 25 $
$ 12x + 40 = x^2 + 10x + 25 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2 + 10x - 12x + 25 - 40 = 0 $
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $ x_1+x_2 = 2 $, произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = -15 $. Подбором находим корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -3 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 5 $ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $ x_2 = -3 $ входит в ОДЗ.
Ответ: -3.

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6} $.
Преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: полный квадрат разности $ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $ и разность квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
$ x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2 $
$ 36 - x^2 = 6^2 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6) $
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$ \frac{1}{(x-6)^2} + \frac{12}{-(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6} $
Упростим выражение:
$ \frac{1}{(x-6)^2} - \frac{12}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ x-6 \neq 0 \implies x \neq 6 $
$ x+6 \neq 0 \implies x \neq -6 $
ОДЗ: $ x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 6) \cup (6; +\infty) $.
Общий знаменатель для дробей: $ (x+6)(x-6)^2 $. Приведем уравнение к общему знаменателю.
$ \frac{1(x+6)}{(x+6)(x-6)^2} - \frac{12(x-6)}{(x+6)(x-6)^2} = \frac{1(x-6)^2}{(x+6)(x-6)^2} $
Приравняем числители:
$ (x+6) - 12(x-6) = (x-6)^2 $
Раскроем скобки и решим уравнение:
$ x + 6 - 12x + 72 = x^2 - 12x + 36 $
$ -11x + 78 = x^2 - 12x + 36 $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ x^2 - 12x + 11x + 36 - 78 = 0 $
$ x^2 - x - 42 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $ x_1+x_2 = 1 $, произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = -42 $. Корни: $ x_1 = 7 $ и $ x_2 = -6 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_2 = -6 $ не входит в ОДЗ, так как $ x \neq -6 $, значит, это посторонний корень. Корень $ x_1 = 7 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 7.

10.7.1) $\frac{5}{x^2 + 2x + 1} - \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x - 1}$;

2) $\frac{3}{x^2 - 6x + 9} + \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x + 3}$.

1) Решим уравнение $\frac{5}{x^2 + 2x + 1} - \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x - 1}$.

Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(x + 1)$

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{5}{(x + 1)^2} - \frac{2}{-(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$

Упростим выражение, изменив знак перед второй дробью:

$\frac{5}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$(x + 1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$

$(x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(x + 1)^2(x - 1)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель:

$5(x - 1) + 2(x + 1) = 1(x + 1)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$5x - 5 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1$

$7x - 3 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 1 - 7x + 3 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4$

2) Решим уравнение $\frac{3}{x^2 - 6x + 9} + \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x + 3}$.

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) = -(x - 3)(x + 3)$

Подставим разложенные знаменатели в уравнение:

$\frac{3}{(x - 3)^2} + \frac{6}{-(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$

$\frac{3}{(x - 3)^2} - \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$

Определим ОДЗ:

$(x - 3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$

$(x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$

ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель дробей равен $(x - 3)^2(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x + 3) - 6(x - 3) = 1(x - 3)^2$

Раскроем скобки:

$3x + 9 - 6x + 18 = x^2 - 6x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x + 27 = x^2 - 6x + 9$

Перенесем все в правую часть:

$0 = x^2 - 6x + 9 + 3x - 27$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$, $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как обращает знаменатели в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $6$

10.8. 1) $\frac{3}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1}$;

2) $\frac{4}{x^2 + 6x + 9} - \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x - 3}$.

1) $ \frac{3}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1} $

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого приравняем знаменатели к нулю и исключим полученные значения $x$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \neq 0 \implies x \neq 1$

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители. Обратим внимание, что $1 - x^2 = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)$.

$ \frac{3}{(x - 1)^2} + \frac{2}{-(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} $

$ \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен $(x - 1)^2(x + 1)$.

$ \frac{3(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^2} - \frac{2(x-1)^2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1(x-1)^2(x+1)}{x+1} $

$ 3(x + 1) - 2(x - 1) = (x - 1)^2 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 3x + 3 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1 $

$ x + 5 = x^2 - 2x + 1 $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0 $

$ x^2 - 3x - 4 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -1$).

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 4

2) $ \frac{4}{x^2 + 6x + 9} - \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x - 3} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3$

$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Преобразуем уравнение. Используем формулы сокращенного умножения для знаменателей: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ и $9 - x^2 = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3)$.

$ \frac{4}{(x + 3)^2} - \frac{6}{-(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x - 3} $

$ \frac{4}{(x + 3)^2} + \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x - 3} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 3)^2(x - 3)$, чтобы избавиться от дробей.

$ \frac{4(x+3)^2(x-3)}{(x+3)^2} + \frac{6(x+3)^2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{1(x+3)^2(x-3)}{x-3} $

$ 4(x - 3) + 6(x + 3) = (x + 3)^2 $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 4x - 12 + 6x + 18 = x^2 + 6x + 9 $

$ 10x + 6 = x^2 + 6x + 9 $

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 + 6x - 10x + 9 - 6 = 0 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1=1$, $x_2=3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$, $x \neq -3$).

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $9-x^2$ и $x-3$ обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: 1