Страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как разложить квадратный трехчлен на множители?

2. Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на линейные множители?

1. Как разложить квадратный трехчлен на множители?

Квадратный трехчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, необходимо найти корни соответствующего ему квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если это уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то разложение на множители имеет вид:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Алгоритм разложения следующий:

1. Приравнять квадратный трехчлен к нулю, чтобы получить квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Найти дискриминант уравнения по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

3. Если $D \ge 0$, найти корни уравнения по формулам:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

4. Подставить найденные корни $x_1$, $x_2$ и старший коэффициент $a$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример: Разложим на множители трехчлен $3x^2 - 8x + 4$.

1. Составляем уравнение: $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Здесь $a=3, b=-8, c=4$.

2. Находим дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.

3. Так как $D > 0$, находим корни:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

4. Подставляем значения в формулу разложения:
$3x^2 - 8x + 4 = 3(x - 2)(x - \frac{2}{3})$

Для более удобного вида можно внести множитель 3 во вторую скобку: $3(x - \frac{2}{3}) = 3x - 2$. Тогда разложение примет вид: $(x-2)(3x-2)$.

Ответ: Чтобы разложить квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и подставить их в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$.

2. Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на линейные множители?

Нет, не всегда. Возможность разложения квадратного трехчлена на линейные множители (с действительными коэффициентами) зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $D > 0$, то квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). В этом случае трехчлен раскладывается на два разных линейных множителя: $a(x - x_1)(x - x_2)$.
Пример: $x^2 - 3x + 2$. $D=1 > 0$, корни $x_1=1, x_2=2$. Разложение: $(x-1)(x-2)$.

2. Если $D = 0$, то квадратное уравнение имеет один действительный корень кратности 2 (или два одинаковых корня $x_1 = x_2$). В этом случае трехчлен тоже раскладывается на линейные множители, которые просто совпадают. Такое выражение является полным квадратом: $a(x - x_1)^2$.
Пример: $x^2 - 6x + 9$. $D=0$, корень $x_1=3$. Разложение: $(x-3)^2$ или $(x-3)(x-3)$.

3. Если $D < 0$, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = ax^2 + bx + c$ не пересекает ось абсцисс. В этом случае разложить квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.
Пример: $x^2 + 2x + 5$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Этот трехчлен нельзя разложить на линейные множители в поле действительных чисел.

Ответ: Нет, квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами только в том случае, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), такое разложение невозможно.

9.1. Какие из чисел -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 7; $2 - \sqrt{5}$; $-3 + \sqrt{7}$ являются корнями квадратного трехчлена:

1) $x^2 - 2x - 8$;

2) $x^2 - 4x$;

3) $x^2 - 4x - 1$;

4) $x^2 + 6x + 2$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями квадратного трехчлена, нужно для каждого трехчлена найти его корни и проверить, есть ли они в заданном списке чисел: $-2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 2 - \sqrt{5}; -3 + \sqrt{7}$.

1) $x^2 - 2x - 8$

Найдем корни данного трехчлена, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$.

Из предложенного списка чисел подходят $-2$ и $4$, так как:

$(-2) + 4 = 2$

$(-2) \cdot 4 = -8$

Другой способ — через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

Оба числа, $-2$ и $4$, присутствуют в заданном списке.

Ответ: $-2; 4$.

2) $x^2 - 4x$

Найдем корни, решив уравнение $x^2 - 4x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Сравниваем полученные корни со списком чисел. В списке есть число $4$, но нет числа $0$.

Следовательно, только одно число из списка является корнем данного трехчлена.

Ответ: $4$.

3) $x^2 - 4x - 1$

Найдем корни, решив уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни уравнения: $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{5}$.

Из этих двух корней в предложенном списке есть только $2 - \sqrt{5}$.

Ответ: $2 - \sqrt{5}$.

4) $x^2 + 6x + 2$

Найдем корни, решив уравнение $x^2 + 6x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.

Корни уравнения: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -3 \pm \sqrt{7}$.

Получаем два корня: $x_1 = -3 + \sqrt{7}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{7}$.

Из этих двух корней в предложенном списке есть только $-3 + \sqrt{7}$.

Ответ: $-3 + \sqrt{7}$.

9.2. Установите, имеет ли корни квадратный трехчлен:

1) $x^2 - 7x + 8;$

2) $x^2 - 12x + 18;$

3) $-x^2 - 11x + 38;$

4) $x^2 + 18;$

5) $x^2 - 12x;$

6) $-x^2 + 18x.$

Чтобы определить, имеет ли квадратный трехчлен корни, нужно вычислить его дискриминант ($D$). Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ имеет корни, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ больше или равен нулю ($D \geq 0$). Если $D < 0$, то трехчлен не имеет действительных корней.

1) $x^2 - 7x + 8$
Это квадратный трехчлен с коэффициентами $a = 1$, $b = -7$, $c = 8$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$.
Так как $D = 17 > 0$, трехчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет корни.

2) $x^2 - 12x + 18$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 18$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 144 - 72 = 72$.
Так как $D = 72 > 0$, трехчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет корни.

3) $-x^2 - 11x + 38$
Коэффициенты: $a = -1$, $b = -11$, $c = 38$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 38 = 121 + 152 = 273$.
Так как $D = 273 > 0$, трехчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет корни.

4) $x^2 + 18$
Это неполный квадратный трехчлен. Его можно записать как $x^2 + 0x + 18$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 0$, $c = 18$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 0 - 72 = -72$.
Так как $D = -72 < 0$, трехчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

5) $x^2 - 12x$
Это неполный квадратный трехчлен. Его можно записать как $x^2 - 12x + 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 144 - 0 = 144$.
Так как $D = 144 > 0$, трехчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет корни.

6) $-x^2 + 18x$
Это неполный квадратный трехчлен. Его можно записать как $-x^2 + 18x + 0$.
Коэффициенты: $a = -1$, $b = 18$, $c = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 324 - 0 = 324$.
Так как $D = 324 > 0$, трехчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет корни.

Найдите корни квадратных трехчленов (9.3–9.5):

9.3. 1) $x^2 - 7x$;

2) $x^2 - 7$;

3) $3x^2 - 27$;

4) $-2x^2 + 72$;

5) $0,5x^2 - 128$;

6) $-\frac{2}{5}x^2 + 4x.$

1) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x$, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:$x^2 - 7x = 0$Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(x - 7) = 0$Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.Следовательно, у нас есть два случая:1. $x_1 = 0$2. $x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$
Ответ: $0; 7$.

2) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $x^2 - 7$, приравняем его к нулю:$x^2 - 7 = 0$Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:$x^2 = 7$Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$x = \pm\sqrt{7}$Таким образом, корни трехчлена: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.
Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

3) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $3x^2 - 27$, приравняем его к нулю:$3x^2 - 27 = 0$Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:$x^2 - 9 = 0$Перенесем свободный член в правую часть:$x^2 = 9$Извлечем квадратный корень из обеих частей:$x = \pm\sqrt{9}$$x = \pm3$Корни трехчлена: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ответ: $-3; 3$.

4) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $-2x^2 + 72$, приравняем его к нулю:$-2x^2 + 72 = 0$Перенесем $72$ в правую часть с противоположным знаком:$-2x^2 = -72$Разделим обе части уравнения на $-2$:$x^2 = 36$Извлечем квадратный корень из обеих частей:$x = \pm\sqrt{36}$$x = \pm6$Корни трехчлена: $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.
Ответ: $-6; 6$.

5) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $0,5x^2 - 128$, приравняем его к нулю:$0,5x^2 - 128 = 0$Перенесем $-128$ в правую часть:$0,5x^2 = 128$Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:$x^2 = 256$Извлечем квадратный корень из обеих частей:$x = \pm\sqrt{256}$$x = \pm16$Корни трехчлена: $x_1 = -16$ и $x_2 = 16$.
Ответ: $-16; 16$.

6) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $-\frac{2}{5}x^2 + 4x$, приравняем его к нулю:$-\frac{2}{5}x^2 + 4x = 0$Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(-\frac{2}{5}x + 4) = 0$Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:1. $x_1 = 0$2. $-\frac{2}{5}x + 4 = 0$ $-\frac{2}{5}x = -4$ Умножим обе части на $-\frac{5}{2}$: $x_2 = -4 \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{20}{2} = 10$Корни трехчлена: $0$ и $10$.
Ответ: $0; 10$.

9.4. 1) $3x^2 + 54;$

2) $-0.4x^2 - 7x;$

3) $x^2 - 7x - 8;$

4) $x^2 + 7x - 8;$

5) $-x^2 + 8x - 15;$

6) $-2x^2 + 7x - 18.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $3x^2 + 54$, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. Общим множителем для коэффициентов 3 и 54 является 3.

$3x^2 + 54 = 3(x^2 + 18)$

Дальнейшее разложение выражения $x^2 + 18$ на множители с действительными коэффициентами невозможно, так как квадратное уравнение $x^2 + 18 = 0$ не имеет действительных корней (дискриминант меньше нуля, или $x^2 = -18$).

Ответ: $3(x^2 + 18)$

2) Для разложения на множители выражения $-0,4x^2 - 7x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки. Также можно вынести знак минус для удобства.

$-0,4x^2 - 7x = -x(0,4x + 7)$

В качестве альтернативы, можно разложить на множители, найдя корни соответствующего уравнения $-0,4x^2 - 7x = 0$ по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$.

$x(-0,4x - 7) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $-0,4x - 7 = 0$, что дает $x_2 = -7/0,4 = -17,5$.

Тогда разложение имеет вид: $-0,4(x-0)(x-(-17,5)) = -0,4x(x+17,5)$. Оба варианта ответа верны.

Ответ: $-x(0,4x + 7)$ или $-0,4x(x + 17,5)$

3) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x - 8$, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$. Разложение будет иметь вид $(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для $a=1, b=-7, c=-8$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{7+9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{7-9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Следовательно, разложение на множители имеет вид:

$x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x - (-1)) = (x - 8)(x + 1)$

Ответ: $(x - 8)(x + 1)$

4) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 7x - 8$, найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для $a=1, b=7, c=-8$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{-7+9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-7-9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Следовательно, разложение на множители имеет вид:

$x^2 + 7x - 8 = (x - 1)(x - (-8)) = (x - 1)(x + 8)$

Ответ: $(x - 1)(x + 8)$

5) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-x^2 + 8x - 15$, найдем корни уравнения $-x^2 + 8x - 15 = 0$. Разложение будет иметь вид $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=-1$.

Для удобства решения умножим уравнение на -1: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для $a=1, b=-8, c=15$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{8+2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Подставим корни в формулу разложения с учетом коэффициента $a=-1$:

$-x^2 + 8x - 15 = -1 \cdot (x - 5)(x - 3) = -(x - 5)(x - 3)$

Ответ: $-(x - 5)(x - 3)$

6) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $-2x^2 + 7x - 18$, найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для $a=-2, b=7, c=-18$.

$D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-18) = 49 - 8 \cdot 18 = 49 - 144 = -95$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данный квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Разложить на множители нельзя.

9.5. 1) $-3x^2 + 6x + 18$;

2) $10x^2 + 3x - 18$;

3) $-2x^2 + 9x - 8$;

4) $-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2$.

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $-3x^2 + 6x + 18$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2 + 6x + 18 = 0$. Для разложения используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Решим уравнение $-3x^2 + 6x + 18 = 0$. Для удобства разделим обе части на $-3$:$x^2 - 2x - 6 = 0$.Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28$.Корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$.Таким образом, $x_1 = 1 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{7}$.Теперь подставим корни в формулу разложения, учитывая, что старший коэффициент $a = -3$:$-3x^2 + 6x + 18 = -3(x - (1 + \sqrt{7}))(x - (1 - \sqrt{7})) = -3(x - 1 - \sqrt{7})(x - 1 + \sqrt{7})$.Ответ: $-3(x - 1 - \sqrt{7})(x - 1 + \sqrt{7})$.

2) Разложим на множители трехчлен $10x^2 + 3x - 18$.Найдем корни уравнения $10x^2 + 3x - 18 = 0$.Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-18) = 9 + 720 = 729$.$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2}$.Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a = 10$:$10x^2 + 3x - 18 = 10(x - \frac{6}{5})(x - (-\frac{3}{2})) = 10(x - \frac{6}{5})(x + \frac{3}{2})$.Чтобы избавиться от дробей в скобках, представим $10$ как $5 \cdot 2$ и умножим каждую скобку на соответствующий множитель:$10(x - \frac{6}{5})(x + \frac{3}{2}) = (5 \cdot (x - \frac{6}{5})) \cdot (2 \cdot (x + \frac{3}{2})) = (5x - 6)(2x + 3)$.Ответ: $(5x - 6)(2x + 3)$.

3) Разложим на множители трехчлен $-2x^2 + 9x - 8$.Найдем корни уравнения $-2x^2 + 9x - 8 = 0$.Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-8) = 81 - 64 = 17$.Корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{-4} = \frac{9 \mp \sqrt{17}}{4}$.Таким образом, $x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{4}$.Подставим корни в формулу разложения, где $a = -2$:$-2x^2 + 9x - 8 = -2(x - \frac{9 - \sqrt{17}}{4})(x - \frac{9 + \sqrt{17}}{4})$.Ответ: $-2(x - \frac{9 - \sqrt{17}}{4})(x - \frac{9 + \sqrt{17}}{4})$.

4) Разложим на множители трехчлен $-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2$.Найдем корни уравнения $-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2 = 0$.Умножим уравнение на $-4$, чтобы избавиться от дроби и знака минус при старшем члене:$x^2 - 28x + 8 = 0$.Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 784 - 32 = 752$.$\sqrt{D} = \sqrt{752} = \sqrt{16 \cdot 47} = 4\sqrt{47}$.Корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 4\sqrt{47}}{2 \cdot 1} = 14 \pm 2\sqrt{47}$.Таким образом, $x_1 = 14 + 2\sqrt{47}$ и $x_2 = 14 - 2\sqrt{47}$.Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a = -\frac{1}{4}$:$-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2 = -\frac{1}{4}(x - (14 + 2\sqrt{47}))(x - (14 - 2\sqrt{47})) = -\frac{1}{4}(x - 14 - 2\sqrt{47})(x - 14 + 2\sqrt{47})$.Ответ: $-\frac{1}{4}(x - 14 - 2\sqrt{47})(x - 14 + 2\sqrt{47})$.

Выделите квадраты двучлена из квадратных трехчленов (9.6–9.8):

9.6.1) $x^2 + 6x - 18;$

2) $x^2 + 8x - 11;$

3) $x^2 + 5x - 8;$

4) $x^2 + 7x - 1;$

5) $-x^2 + 7x - 12;$

6) $-x^2 + 8x + 8.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 18$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$ (значит, $a=x$), а $6x$ соответствует удвоенному произведению $2ab$.
То есть, $2xb = 6x$, откуда $b=3$.
Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 3^2 = 9$.
Добавим и вычтем 9, чтобы не изменить выражение:
$x^2 + 6x - 18 = (x^2 + 6x + 9) - 9 - 18$.
Первые три слагаемых теперь образуют полный квадрат $(x+3)^2$.
Сгруппируем их и вычислим оставшуюся часть:
$(x^2 + 6x + 9) - 9 - 18 = (x+3)^2 - 27$.
Ответ: $(x+3)^2 - 27$.

2) Рассмотрим трехчлен $x^2 + 8x - 11$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$. Слагаемое $8x$ является удвоенным произведением $2ab$, то есть $2xb = 8x$, откуда $b=4$.
Для полного квадрата необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$.
Добавим и вычтем 16:
$x^2 + 8x - 11 = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 11$.
Сворачиваем полный квадрат и вычисляем остаток:
$(x^2 + 8x + 16) - 16 - 11 = (x+4)^2 - 27$.
Ответ: $(x+4)^2 - 27$.

3) Для трехчлена $x^2 + 5x - 8$ применим тот же метод.
По формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$, имеем $2xb = 5x$, откуда $b = \frac{5}{2}$.
Тогда $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.
Добавим и вычтем это значение:
$x^2 + 5x - 8 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} - 8$.
Выражение в скобках равно $(x + \frac{5}{2})^2$.
Вычисляем оставшуюся часть, приводя 8 к знаменателю 4:
$(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - \frac{32}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{57}{4}$.
Ответ: $(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{57}{4}$.

4) Рассмотрим $x^2 + 7x - 1$.
По формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$, имеем $2xb = 7x$, откуда $b = \frac{7}{2}$.
Тогда $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
Добавим и вычтем это значение:
$x^2 + 7x - 1 = (x^2 + 7x + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} - 1$.
Выражение в скобках равно $(x + \frac{7}{2})^2$.
Вычисляем оставшуюся часть, приводя 1 к знаменателю 4:
$(x + \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} - \frac{4}{4} = (x + \frac{7}{2})^2 - \frac{53}{4}$.
Ответ: $(x + \frac{7}{2})^2 - \frac{53}{4}$.

5) В выражении $-x^2 + 7x - 12$ коэффициент при $x^2$ равен -1. Сначала вынесем -1 за скобки:
$-x^2 + 7x - 12 = -(x^2 - 7x + 12)$.
Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 7x$. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $-7x$ это $-2ab$, т.е. $-2xb = -7x$, откуда $b = \frac{7}{2}$.
Нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
Добавим и вычтем его внутри скобок:
$-(x^2 - 7x + 12) = -( (x^2 - 7x + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} + 12 )$.
Группируем слагаемые и вычисляем:
$-( (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4} ) = -( (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4} )$.
Раскрываем внешние скобки, меняя знаки:
$-(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{1}{4}$.
Ответ: $-(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{1}{4}$.

6) В выражении $-x^2 + 8x + 8$ также вынесем -1 за скобки:
$-x^2 + 8x + 8 = -(x^2 - 8x - 8)$.
Выделим полный квадрат для $x^2 - 8x$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, $-2xb = -8x$, откуда $b=4$.
Требуемое слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$.
Добавим и вычтем 16 внутри скобок:
$-(x^2 - 8x - 8) = -( (x^2 - 8x + 16) - 16 - 8 )$.
Группируем слагаемые:
$-( (x - 4)^2 - 24 )$.
Раскрываем внешние скобки:
$-(x - 4)^2 + 24$.
Ответ: $-(x - 4)^2 + 24$.