Вопросы, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как разложить квадратный трехчлен на множители?

2. Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на линейные множители?

1. Как разложить квадратный трехчлен на множители?

Квадратный трехчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, необходимо найти корни соответствующего ему квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если это уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то разложение на множители имеет вид:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Алгоритм разложения следующий:

1. Приравнять квадратный трехчлен к нулю, чтобы получить квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Найти дискриминант уравнения по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

3. Если $D \ge 0$, найти корни уравнения по формулам:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

4. Подставить найденные корни $x_1$, $x_2$ и старший коэффициент $a$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример: Разложим на множители трехчлен $3x^2 - 8x + 4$.

1. Составляем уравнение: $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Здесь $a=3, b=-8, c=4$.

2. Находим дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.

3. Так как $D > 0$, находим корни:
$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

4. Подставляем значения в формулу разложения:
$3x^2 - 8x + 4 = 3(x - 2)(x - \frac{2}{3})$

Для более удобного вида можно внести множитель 3 во вторую скобку: $3(x - \frac{2}{3}) = 3x - 2$. Тогда разложение примет вид: $(x-2)(3x-2)$.

Ответ: Чтобы разложить квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и подставить их в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$.

2. Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на линейные множители?

Нет, не всегда. Возможность разложения квадратного трехчлена на линейные множители (с действительными коэффициентами) зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $D > 0$, то квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). В этом случае трехчлен раскладывается на два разных линейных множителя: $a(x - x_1)(x - x_2)$.
Пример: $x^2 - 3x + 2$. $D=1 > 0$, корни $x_1=1, x_2=2$. Разложение: $(x-1)(x-2)$.

2. Если $D = 0$, то квадратное уравнение имеет один действительный корень кратности 2 (или два одинаковых корня $x_1 = x_2$). В этом случае трехчлен тоже раскладывается на линейные множители, которые просто совпадают. Такое выражение является полным квадратом: $a(x - x_1)^2$.
Пример: $x^2 - 6x + 9$. $D=0$, корень $x_1=3$. Разложение: $(x-3)^2$ или $(x-3)(x-3)$.

3. Если $D < 0$, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = ax^2 + bx + c$ не пересекает ось абсцисс. В этом случае разложить квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.
Пример: $x^2 + 2x + 5$. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Этот трехчлен нельзя разложить на линейные множители в поле действительных чисел.

Ответ: Нет, квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами только в том случае, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), такое разложение невозможно.