Номер 8.43, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.43. Упростите выражение:

1) $ \left( \frac{a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} \right) \cdot \left( \frac{a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{2}{1 - a} \right); $

2) $ \left( \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{a^2 + 8}{a^3 - 8} + \frac{1}{2 - a} \right) \cdot \left( \frac{a^2}{a^2 - 4} + \frac{2}{a - 2} \right); $

3) $ \frac{4x - 2y}{y} - \frac{5x - 2y}{2x + y}; $

4) $ \frac{4x^2 - 3xy}{x^2 - 2xy} \cdot \frac{-x + 2y}{4x - 3y} - 3. $

1) Упростим выражение по действиям.
1. Выполним вычитание в первых скобках. Общий знаменатель $a^3 - 8 = (a-2)(a^2+2a+4)$.
$\frac{a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} = \frac{a(a-2) - 1(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2 - 2a - a^2 - 2a - 4}{a^3-8} = \frac{-4a - 4}{a^3-8} = \frac{-4(a+1)}{a^3-8}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Заметим, что $1-a = -(a-1)$.
$\frac{a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{2}{1 - a} = \frac{a^2 + 2}{(a-1)(a+1)} + \frac{2}{a-1} = \frac{a^2+2+2(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-1)(a+1)}$.
3. Перемножим полученные результаты.
$\frac{-4(a+1)}{a^3 - 8} \cdot \frac{a^2+2a+4}{(a-1)(a+1)} = \frac{-4(a+1)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \cdot \frac{a^2+2a+4}{(a-1)(a+1)}$.
Сокращая общие множители $(a+1)$ и $(a^2+2a+4)$, получаем:
$\frac{-4}{a-2} = \frac{4}{2-a}$.
Ответ: $\frac{4}{2-a}$.

2) Упростим выражение по действиям.
1. Преобразуем выражение в первых скобках. Общий знаменатель $a^3 - 8 = (a-2)(a^2+2a+4)$. Учтем, что $2-a = -(a-2)$.
$\frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{a^2 + 8}{a^3 - 8} + \frac{1}{2 - a} = \frac{a(a-2) + (a^2+8) - 1(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2-2a+a^2+8-a^2-2a-4}{a^3-8} = \frac{a^2-4a+4}{a^3-8}$.
Числитель $a^2-4a+4 = (a-2)^2$, поэтому дробь можно сократить:
$\frac{(a-2)^2}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a-2}{a^2+2a+4}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
$\frac{a^2}{a^2 - 4} + \frac{2}{a - 2} = \frac{a^2 + 2(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a+2)}$.
3. Перемножим полученные выражения.
$\frac{a-2}{a^2+2a+4} \cdot \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a+2)}$.
Сокращая общие множители $(a-2)$ и $(a^2+2a+4)$, получаем:
$\frac{1}{a+2}$.
Ответ: $\frac{1}{a+2}$.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $y(2x+y)$ и выполним вычитание.
$\frac{4x - 2y}{y} - \frac{5x - 2y}{2x + y} = \frac{(4x - 2y)(2x + y) - y(5x - 2y)}{y(2x + y)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(4x - 2y)(2x + y) = 8x^2 + 4xy - 4xy - 2y^2 = 8x^2 - 2y^2$.
$y(5x - 2y) = 5xy - 2y^2$.
Подставим обратно в числитель:
$8x^2 - 2y^2 - (5xy - 2y^2) = 8x^2 - 2y^2 - 5xy + 2y^2 = 8x^2 - 5xy$.
В числителе можно вынести общий множитель $x$ за скобки: $x(8x - 5y)$.
Итоговое выражение:
$\frac{x(8x-5y)}{y(2x+y)}$.
Ответ: $\frac{x(8x - 5y)}{y(2x + y)}$.

4) Решим выражение по действиям.
1. Сначала выполним умножение, предварительно разложив числители и знаменатели дробей на множители.
$\frac{4x^2 - 3xy}{x^2 - 2xy} \cdot \frac{-x + 2y}{4x - 3y} = \frac{x(4x - 3y)}{x(x - 2y)} \cdot \frac{-(x - 2y)}{4x - 3y}$.
Сократим общие множители $x$, $(4x-3y)$ и $(x-2y)$:
$\frac{\cancel{x}(\cancel{4x-3y})}{\cancel{x}(\cancel{x-2y})} \cdot \frac{-(\cancel{x-2y})}{(\cancel{4x-3y})} = -1$.
2. Теперь выполним вычитание.
$-1 - 3 = -4$.
Ответ: $-4$.