Номер 8.41, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.41. Найдите $p$, если известно, что $x_1$ и $x_2$ корни уравнения $5x^2 - 18x + p = 0$, причем $2x_1 + 5x_2 = 12$.

Дано квадратное уравнение $5x^2 - 18x + p = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также известно, что корни связаны соотношением $2x_1 + 5x_2 = 12$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-18$, $c=p$.

Применим теорему Виета к данному уравнению:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-18}{5} = \frac{18}{5}$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{5}$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{18}{5} \\ 2x_1 + 5x_2 = 12 \end{cases}$

Решим эту систему. Выразим $x_1$ из первого уравнения:

$x_1 = \frac{18}{5} - x_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(\frac{18}{5} - x_2) + 5x_2 = 12$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_2$:

$\frac{36}{5} - 2x_2 + 5x_2 = 12$

$3x_2 = 12 - \frac{36}{5}$

$3x_2 = \frac{60}{5} - \frac{36}{5}$

$3x_2 = \frac{24}{5}$

$x_2 = \frac{24}{5 \cdot 3} = \frac{8}{5}$

Теперь, зная $x_2$, найдем $x_1$:

$x_1 = \frac{18}{5} - x_2 = \frac{18}{5} - \frac{8}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Мы нашли корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=\frac{8}{5}$.

Чтобы найти параметр $p$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{5}$

Подставим найденные значения корней в это выражение:

$2 \cdot \frac{8}{5} = \frac{p}{5}$

$\frac{16}{5} = \frac{p}{5}$

Отсюда следует, что $p = 16$.

Ответ: 16.