Номер 8.35, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.35. При каких значениях $p$ и $q$ корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ равны $2p$ и $\frac{q}{2}$?

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию задачи, его корнями являются $x_1 = 2p$ и $x_2 = \frac{q}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Применительно к нашему уравнению $x^2 + px + q = 0$, где коэффициенты $b=p$ и $c=q$, теорема Виета дает следующую систему:

$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Теперь подставим в эту систему выражения для корней $x_1 = 2p$ и $x_2 = \frac{q}{2}$:

$ \begin{cases} 2p + \frac{q}{2} = -p \\ 2p \cdot \frac{q}{2} = q \end{cases} $

Начнем решение системы со второго уравнения:
$2p \cdot \frac{q}{2} = q$
$pq = q$
$pq - q = 0$
$q(p - 1) = 0$

Последнее уравнение означает, что либо $q=0$, либо $p-1=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = 0$.
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$2p + \frac{0}{2} = -p$
$2p = -p$
$3p = 0$
$p = 0$
Таким образом, первая пара значений — $(p, q) = (0, 0)$.
Проверим: если $p=0$ и $q=0$, уравнение имеет вид $x^2=0$, его корни $x_1=0, x_2=0$. По условию корни должны быть равны $2p = 2 \cdot 0 = 0$ и $\frac{q}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Решение верное.

Случай 2: $p - 1 = 0$, что означает $p = 1$.
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$2(1) + \frac{q}{2} = -1$
$2 + \frac{q}{2} = -1$
$\frac{q}{2} = -1 - 2$
$\frac{q}{2} = -3$
$q = -6$
Таким образом, вторая пара значений — $(p, q) = (1, -6)$.
Проверим: если $p=1$ и $q=-6$, уравнение имеет вид $x^2 + x - 6 = 0$. Его корни можно найти, решив уравнение: $(x+3)(x-2)=0$, откуда $x_1=-3, x_2=2$. По условию корни должны быть равны $2p = 2 \cdot 1 = 2$ и $\frac{q}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Решение верное.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две пары значений $p$ и $q$.
Ответ: $(p, q) = (0, 0)$ или $(p, q) = (1, -6)$.