Номер 8.36, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.36. При каких значениях параметра $a$ один из корней квадратного уравнения $(a^2 - 5a + 3)x^2 + (3a - 1)x + 2 = 0$ в два раза больше другого?

Пусть дано квадратное уравнение $(a^2 - 5a + 3)x^2 + (3a - 1)x + 2 = 0$. Для того чтобы это уравнение было квадратным, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю:

$a^2 - 5a + 3 \neq 0$

Решим уравнение $a^2 - 5a + 3 = 0$, чтобы найти недопустимые значения $a$:

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Следовательно, $a \neq \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Также для существования двух действительных корней дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Пусть корни уравнения – $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, один корень в два раза больше другого, то есть $x_2 = 2x_1$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае $A = a^2 - 5a + 3$, $B = 3a - 1$, $C = 2$. Подставим $x_2 = 2x_1$ в формулы Виета:

1) $x_1 + 2x_1 = 3x_1 = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3}$

2) $x_1 \cdot 2x_1 = 2x_1^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$

Из второго уравнения системы получим:

$x_1^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$

Из первого уравнения системы выразим $x_1$:

$x_1 = -\frac{3a - 1}{3(a^2 - 5a + 3)}$

Возведем это выражение в квадрат:

$x_1^2 = \left(-\frac{3a - 1}{3(a^2 - 5a + 3)}\right)^2 = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $x_1^2$:

$\frac{1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$

Поскольку мы уже определили, что $a^2 - 5a + 3 \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $9(a^2 - 5a + 3)^2$:

$9(a^2 - 5a + 3) = (3a - 1)^2$

Раскроем скобки:

$9a^2 - 45a + 27 = 9a^2 - 6a + 1$

Сократим $9a^2$ в обеих частях уравнения:

$-45a + 27 = -6a + 1$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону, а константы — в другую:

$45a - 6a = 27 - 1$

$39a = 26$

$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a$ исходным условиям.

1. Проверим, что $a^2 - 5a + 3 \neq 0$ при $a = \frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^2 - 5(\frac{2}{3}) + 3 = \frac{4}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{4 - 30 + 27}{9} = \frac{1}{9}$.

Так как $\frac{1}{9} \neq 0$, условие выполняется.

2. Проверим, что дискриминант $D \ge 0$ при $a = \frac{2}{3}$:

$D = (3a - 1)^2 - 4(a^2 - 5a + 3)(2) = (3a - 1)^2 - 8(a^2 - 5a + 3)$.

Мы уже нашли, что $a^2 - 5a + 3 = \frac{1}{9}$ при $a = \frac{2}{3}$.

Также найдем $3a - 1 = 3(\frac{2}{3}) - 1 = 2 - 1 = 1$.

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$D = (1)^2 - 8(\frac{1}{9}) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.

Так как $D = \frac{1}{9} > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Условие выполняется.

Следовательно, найденное значение $a$ является решением задачи.

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.