Номер 8.34, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.34. Найдите значение суммы квадратов всех корней уравнения $x^2 - 3|x| + 1 = 0.$

Исходное уравнение: $x^2 - 3|x| + 1 = 0$.Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то $t \ge 0$.После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$t^2 - 3t + 1 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.Корни для $t$ равны:$t_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.Оба корня являются положительными (так как $3 > \sqrt{5}$, поскольку $9 > 5$), поэтому оба удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к переменной $x$ через обратную замену $|x| = t$.Поскольку мы получили два положительных значения для $t$, исходное уравнение имеет четыре действительных корня:$x_{1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$, $x_{2} = -\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$,$x_{3} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x_{4} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Нам необходимо найти сумму квадратов всех корней: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$.Заметим, что $x_1^2 = (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 = t_1^2$ и $x_2^2 = (-\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 = t_1^2$.Аналогично, $x_3^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = t_2^2$ и $x_4^2 = (-\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = t_2^2$.Таким образом, искомая сумма квадратов равна $S = t_1^2 + t_1^2 + t_2^2 + t_2^2 = 2(t_1^2 + t_2^2)$.

Для нахождения суммы квадратов $t_1^2 + t_2^2$ удобно воспользоваться теоремой Виета для уравнения $t^2 - 3t + 1 = 0$.Сумма корней: $t_1 + t_2 = 3$.Произведение корней: $t_1 t_2 = 1$.Выразим сумму квадратов через сумму и произведение:$t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 3^2 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$.

Наконец, подставим полученное значение в выражение для суммы квадратов корней исходного уравнения:$S = 2 \cdot (t_1^2 + t_2^2) = 2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14.