Номер 8.27, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.27. При каких значениях k значение произведения корней квадратного уравнения $x^2 + 3x + (k^2 - 7k + 12) = 0$ равно нулю?

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения. Дано квадратное уравнение: $x^2 + 3x + (k^2 - 7k + 12) = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x^2$ равен 1. В данном уравнении коэффициенты следующие:
$p = 3$
$q = k^2 - 7k + 12$

Согласно теореме Виета, произведение корней ($x_1$ и $x_2$) приведенного квадратного уравнения равно его свободному члену $q$.
$x_1 \cdot x_2 = q = k^2 - 7k + 12$

По условию задачи, значение произведения корней равно нулю. Следовательно, мы можем приравнять свободный член к нулю:
$k^2 - 7k + 12 = 0$

Теперь необходимо решить полученное квадратное уравнение относительно переменной $k$. Это можно сделать, например, с помощью теоремы Виета. Найдем два числа, сумма которых равна $7$, а произведение равно $12$. Такими числами являются $3$ и $4$.
Следовательно, корни этого уравнения:
$k_1 = 3$
$k_2 = 4$

Также можно было найти корни через дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
$k_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$
$k_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$
$k_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Для корректности решения необходимо убедиться, что при найденных значениях $k$ исходное уравнение для $x$ имеет действительные корни. Для этого его дискриминант ($D_x$) должен быть неотрицательным.
$D_x = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 - 7k + 12)$
Поскольку мы ищем $k$, при которых $k^2 - 7k + 12 = 0$, то свободный член исходного уравнения обращается в ноль.
$D_x = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 9$
Так как $D_x = 9 > 0$, то при $k=3$ и $k=4$ исходное уравнение имеет два различных действительных корня, и наше решение является верным.

Ответ: при $k=3$ и $k=4$.