Номер 8.24, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.24. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$, найдите разность квадратов его корней.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x + 1 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Прежде всего, проверим, имеет ли уравнение действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$.Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Нам нужно найти разность квадратов корней, то есть величину $x_1^2 - x_2^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов:$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

Для нахождения значений $(x_1 + x_2)$ и $(x_1 - x_2)$ воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для нашего уравнения $2x^2 - 5x + 1 = 0$ (где $a=2, b=-5, c=1$):Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем разность корней $(x_1 - x_2)$. Возведем это выражение в квадрат и выразим через сумму и произведение корней:$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения корней:$(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25}{4} - \frac{8}{4} = \frac{17}{4}$.

Отсюда, разность корней $x_1 - x_2$ равна:$x_1 - x_2 = \pm\sqrt{\frac{17}{4}} = \pm\frac{\sqrt{17}}{2}$.Знак зависит от того, какой из корней ($x_1$ или $x_2$) считать большим.

Теперь мы можем вычислить искомую разность квадратов корней:$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = \frac{5}{2} \cdot \left(\pm\frac{\sqrt{17}}{2}\right) = \pm\frac{5\sqrt{17}}{4}$.

Таким образом, в зависимости от порядка вычитания, разность квадратов корней может быть как положительной, так и отрицательной.

Ответ: $\pm\frac{5\sqrt{17}}{4}$.