Номер 8.22, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.22. Не вычисляя корней уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$, найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2;$

2) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3;$

3) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2};$

4) $x_1^4 + x_2^4.$

Для решения задачи не будем вычислять корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$. Вместо этого воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1, x_2$ и коэффициентами $a, b, c$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$

Произведение корней: $x_1 x_2 = c/a$

Для данного уравнения $3x^2 + 8x - 1 = 0$ имеем коэффициенты: $a = 3$, $b = 8$, $c = -1$.

Тогда сумма и произведение корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}$

$x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$

Эти два основных соотношения мы будем использовать для вычисления всех требуемых выражений.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся тождеством, которое получается из квадрата суммы двух чисел: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из этого тождества $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим найденные ранее значения суммы и произведения корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (-\frac{8}{3})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{64}{9} + \frac{2}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$\frac{64}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9} = 7\frac{7}{9}$.

Ответ: $7\frac{7}{9}$.

2) $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3$

Преобразуем данное выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 = x_1x_2(x_2^2 + x_1^2)$.

Мы уже знаем значение произведения корней $x_1x_2 = -1/3$. Значение суммы квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ было найдено в предыдущем пункте и равно $70/9$.

Подставим эти значения в преобразованное выражение:

$x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{70}{9} = -\frac{70}{27} = -2\frac{16}{27}$.

Ответ: $-2\frac{16}{27}$.

3) $\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2}$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю, который равен $x_1^2 x_2^2 = (x_1x_2)^2$:

$\frac{x_1}{x_2^2} + \frac{x_2}{x_1^2} = \frac{x_1 \cdot x_1^2}{x_1^2 x_2^2} + \frac{x_2 \cdot x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2}$.

Теперь необходимо найти значение суммы кубов корней, $x_1^3 + x_2^3$. Используем формулу, вытекающую из куба суммы: $(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2) + x_2^3$. Отсюда:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим известные значения:

$x_1^3 + x_2^3 = (-\frac{8}{3})^3 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{8}{3}) = -\frac{512}{27} - \frac{8}{3}$.

Приведем к общему знаменателю 27:

$-\frac{512}{27} - \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} = -\frac{512}{27} - \frac{72}{27} = -\frac{584}{27}$.

Теперь вычислим знаменатель исходной дроби: $(x_1x_2)^2 = (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Наконец, найдем значение всего выражения:

$\frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^2} = \frac{-584/27}{1/9} = -\frac{584}{27} \cdot \frac{9}{1} = -\frac{584}{3} = -194\frac{2}{3}$.

Ответ: $-194\frac{2}{3}$.

4) $x_1^4 + x_2^4$

Для нахождения суммы четвертых степеней корней воспользуемся результатом для суммы квадратов, найденным в первом пункте. Возведем выражение $x_1^2 + x_2^2$ в квадрат:

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + 2(x_1x_2)^2 + x_2^4$.

Выразим отсюда искомую сумму $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$.

Из пункта 1 мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 70/9$. Также мы знаем, что $x_1x_2 = -1/3$.

Подставим эти значения в формулу:

$x_1^4 + x_2^4 = (\frac{70}{9})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = \frac{4900}{81} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4900}{81} - \frac{2}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$\frac{4900}{81} - \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 9} = \frac{4900}{81} - \frac{18}{81} = \frac{4882}{81} = 60\frac{22}{81}$.

Ответ: $60\frac{22}{81}$.