Номер 8.16, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.16. Найдите знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения:

1) $x^2 - 12x - 24 = 0;$

2) $3x^2 - 12x + 4 = 0;$

3) $-x^2 - 7x + 4.8 = 0;$

4) $-3x^2 + 2.2x + 9.24 = 0.$

Для определения знаков корней квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, не решая его, можно использовать теорему Виета. Сначала необходимо убедиться, что действительные корни существуют. Это делается путем проверки знака дискриминанта $D=b^2-4ac$. Если $D \ge 0$, то действительные корни существуют.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Анализ знаков на основе этих соотношений:
1. Если произведение корней $\frac{c}{a} < 0$, то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
2. Если произведение корней $\frac{c}{a} > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. В этом случае, чтобы определить знак, нужно проанализировать их сумму $-\frac{b}{a}$:
- если $-\frac{b}{a} > 0$, то оба корня положительные;
- если $-\frac{b}{a} < 0$, то оба корня отрицательные.
3. Если $D < 0$, то действительных корней у уравнения нет.

1) $x^2 - 12x - 24 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-12$, $c=-24$.

Сначала проверим, существуют ли корни, вычислив дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 144 + 96 = 240$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь воспользуемся теоремой Виета для определения их знаков.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-24}{1} = -24$.
Так как произведение корней отрицательно, они имеют разные знаки.

Ответ: один корень положительный, другой отрицательный.

2) $3x^2 - 12x + 4 = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=-12$, $c=4$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 144 - 48 = 96$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Применим теорему Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$.
Произведение положительно, значит, корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{3} = 4$.
Сумма корней также положительна. Если сумма и произведение двух чисел положительны, то оба числа положительны.

Ответ: оба корня положительные.

3) $-x^2 - 7x + 4,8 = 0$

Коэффициенты: $a=-1$, $b=-7$, $c=4,8$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4,8 = 49 + 19,2 = 68,2$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Применим теорему Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4,8}{-1} = -4,8$.
Произведение отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки.

Ответ: один корень положительный, другой отрицательный.

4) $-3x^2 + 2,2x + 9,24 = 0$

Коэффициенты: $a=-3$, $b=2,2$, $c=9,24$.

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (2,2)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 9,24 = 4,84 + 110,88 = 115,72$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Применим теорему Виета:
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9,24}{-3} = -3,08$.
Произведение корней отрицательно, значит, они имеют разные знаки.

Ответ: один корень положительный, другой отрицательный.