Номер 8.23, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.23. Не вычисляя корней уравнения $2x^2 - 5x - 4 = 0$, найдите:

1) $ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} $;

2) $ x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4 $;

3) $ \frac{x_1}{x_2^3} + \frac{x_2}{x_1^3} $;

4) $ x_1^5 + x_2^5 $.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем случае дано уравнение $2x^2 - 5x - 4 = 0$. Здесь $a=2, b=-5, c=-4$.Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(-4) = 25 + 32 = 57$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем сумму и произведение корней:Сумма корней: $S_1 = x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.Произведение корней: $P = x_1 x_2 = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения.

1) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} $.

Далее выразим числитель $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней:$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S_1^2 - 2P $.Подставим известные нам значения $S_1 = \frac{5}{2}$ и $P = -2$:$ x_1^2 + x_2^2 = (\frac{5}{2})^2 - 2(-2) = \frac{25}{4} + 4 = \frac{25+16}{4} = \frac{41}{4} $.

Теперь можем вычислить искомое выражение:$ \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{41/4}{(-2)^2} = \frac{41/4}{4} = \frac{41}{16} $.

Ответ: $ \frac{41}{16} $.

2) $x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4$

Вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки:$ x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4 = x_1 x_2 (x_2^3 + x_1^3) = P (x_1^3 + x_2^3) $.

Выразим сумму кубов корней $x_1^3 + x_2^3$ через $S_1$ и $P$:$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2) = S_1(S_1^2 - 3P) $.Подставим известные значения:$ x_1^3 + x_2^3 = \frac{5}{2}((\frac{5}{2})^2 - 3(-2)) = \frac{5}{2}(\frac{25}{4} + 6) = \frac{5}{2}(\frac{25+24}{4}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{49}{4} = \frac{245}{8} $.

Теперь вычислим значение исходного выражения:$ P (x_1^3 + x_2^3) = -2 \cdot \frac{245}{8} = -\frac{245}{4} $.

Ответ: $ -\frac{245}{4} $.

3) $\frac{x_1}{x_2^3} + \frac{x_2}{x_1^3}$

Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{x_1}{x_2^3} + \frac{x_2}{x_1^3} = \frac{x_1^4 + x_2^4}{x_1^3 x_2^3} = \frac{x_1^4 + x_2^4}{(x_1 x_2)^3} $.

Найдем значение числителя $x_1^4 + x_2^4$. Воспользуемся результатом из пункта 1 ($x_1^2 + x_2^2 = \frac{41}{4}$):$ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2 x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2 $.Подставим известные значения:$ x_1^4 + x_2^4 = (\frac{41}{4})^2 - 2(-2)^2 = \frac{1681}{16} - 2(4) = \frac{1681}{16} - 8 = \frac{1681-128}{16} = \frac{1553}{16} $.

Вычислим значение исходного выражения:$ \frac{x_1^4 + x_2^4}{(x_1 x_2)^3} = \frac{1553/16}{(-2)^3} = \frac{1553/16}{-8} = -\frac{1553}{128} $.

Ответ: $ -\frac{1553}{128} $.

4) $x_1^5 + x_2^5$

Для нахождения суммы пятых степеней корней $S_5 = x_1^5 + x_2^5$ можно использовать ранее найденные суммы степеней: $S_2 = x_1^2 + x_2^2 = \frac{41}{4}$ (из пункта 1) и $S_3 = x_1^3 + x_2^3 = \frac{245}{8}$ (из пункта 2).

Представим $x_1^5 + x_2^5$ следующим образом:$ x_1^5 + x_2^5 = (x_1^2 + x_2^2)(x_1^3 + x_2^3) - x_1^2x_2^3 - x_1^3x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)(x_1^3 + x_2^3) - x_1^2x_2^2(x_1+x_2) $.В терминах $S_k$ и $P$: $S_5 = S_2 \cdot S_3 - P^2 S_1$.

Подставим известные значения:$ x_1^5 + x_2^5 = (\frac{41}{4})(\frac{245}{8}) - (-2)^2(\frac{5}{2}) = \frac{41 \cdot 245}{32} - 4 \cdot \frac{5}{2} = \frac{10045}{32} - 10 = \frac{10045 - 320}{32} = \frac{9725}{32} $.

Ответ: $ \frac{9725}{32} $.