Номер 8.25, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.25. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 7x - 3 = 0$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются значения выражений:

1) $x_1 - 2$ и $x_2 - 2$;

2) $2x_1 + 3$ и $2x_2 + 3$;

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$;

4) $x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $x_2 + \frac{1}{x_1}$.

Для заданного квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 3 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, по теореме Виета, мы можем найти сумму и произведение его корней:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{-3}{2}$

Чтобы составить новое квадратное уравнение с корнями $y_1$ и $y_2$, мы будем использовать обратную теорему Виета. Уравнение будет иметь вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 y_2) = 0$. Для каждого случая мы найдем сумму $S = y_1 + y_2$ и произведение $P = y_1 y_2$ новых корней, а затем подставим их в эту формулу.

1) $x_1 - 2$ и $x_2 - 2$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 - 2$ и $y_2 = x_2 - 2$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4 = \frac{7}{2} - 4 = \frac{7 - 8}{2} = -\frac{1}{2}$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = -\frac{3}{2} - 2(\frac{7}{2}) + 4 = -\frac{3}{2} - 7 + 4 = -\frac{3}{2} - 3 = -\frac{9}{2}$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - (-\frac{1}{2})y + (-\frac{9}{2}) = 0$

$y^2 + \frac{1}{2}y - \frac{9}{2} = 0$

Умножим обе части на 2, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$2y^2 + y - 9 = 0$.

Ответ: $2x^2 + x - 9 = 0$.

2) $2x_1 + 3$ и $2x_2 + 3$

Пусть новые корни $y_1 = 2x_1 + 3$ и $y_2 = 2x_2 + 3$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = (2x_1 + 3) + (2x_2 + 3) = 2(x_1 + x_2) + 6 = 2(\frac{7}{2}) + 6 = 7 + 6 = 13$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = (2x_1 + 3)(2x_2 + 3) = 4x_1x_2 + 6x_1 + 6x_2 + 9 = 4(x_1x_2) + 6(x_1 + x_2) + 9 = 4(-\frac{3}{2}) + 6(\frac{7}{2}) + 9 = -6 + 21 + 9 = 24$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - 13y + 24 = 0$.

Ответ: $x^2 - 13x + 24 = 0$.

3) $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$

Пусть новые корни $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{7/2}{-3/2} = -\frac{7}{3}$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{-3/2} = -\frac{2}{3}$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - (-\frac{7}{3})y + (-\frac{2}{3}) = 0$

$y^2 + \frac{7}{3}y - \frac{2}{3} = 0$

Умножим обе части на 3, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$3y^2 + 7y - 2 = 0$.

Ответ: $3x^2 + 7x - 2 = 0$.

4) $x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $x_2 + \frac{1}{x_1}$

Пусть новые корни $y_1 = x_1 + \frac{1}{x_2}$ и $y_2 = x_2 + \frac{1}{x_1}$.

Найдем их сумму:

$S = y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) + (\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = (x_1 + x_2) + \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{7}{2} + \frac{7/2}{-3/2} = \frac{7}{2} - \frac{7}{3} = \frac{21 - 14}{6} = \frac{7}{6}$.

Найдем их произведение:

$P = y_1 y_2 = (x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) = x_1x_2 + x_1\frac{1}{x_1} + x_2\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1x_2} = x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2} = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{-3/2} = -\frac{3}{2} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{-9 + 12 - 4}{6} = -\frac{1}{6}$.

Составим уравнение $y^2 - Sy + P = 0$:

$y^2 - \frac{7}{6}y - \frac{1}{6} = 0$

Умножим обе части на 6, чтобы получить целочисленные коэффициенты:

$6y^2 - 7y - 1 = 0$.

Ответ: $6x^2 - 7x - 1 = 0$.