Номер 8.20, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.20. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен:

1) $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$;

2) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}`;

3) $\frac{5}{\sqrt{13} - 2\sqrt{2}}`;

4) $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$;

5) $\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}`;

6) $\frac{3}{\sqrt{23} - 2\sqrt{3}}`.

1) Сначала упростим заданный корень, избавившись от иррациональности в знаменателе.
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 1 + \sqrt{2}$.
Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее иррациональный корень вида $a+b\sqrt{d}$, обязательно имеет и второй корень, сопряженный к первому: $a-b\sqrt{d}$.
В нашем случае второй корень $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
Теперь воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями: $p = -(x_1+x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$.
$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, $p = -2$ и $q = -1$.
Искомое квадратное уравнение: $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x - 1 = 0$.

2) Упростим заданный корень:
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
Полученный корень имеет вид $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, где $a$ и $b$ — различные рациональные числа, не являющиеся полными квадратами, и $\sqrt{ab}$ иррационально. Такое число не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Минимальный многочлен с рациональными коэффициентами для такого числа имеет степень 4.
Поэтому составить квадратное уравнение в данном случае невозможно. Однако мы можем составить биквадратное уравнение.
Пусть $x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.
Уединим радикал: $x^2 - 8 = 2\sqrt{15}$.
Снова возведем в квадрат: $(x^2 - 8)^2 = (2\sqrt{15})^2$.
$x^4 - 16x^2 + 64 = 4 \cdot 15 = 60$.
$x^4 - 16x^2 + 4 = 0$.
Это минимальный многочлен для данного числа, но он не является квадратным уравнением.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

3) Пусть $x_1 = \frac{5}{\sqrt{13 - 2\sqrt{2}}}$.
Найдем $x_1^2$:
$x_1^2 = \frac{25}{13 - 2\sqrt{2}} = \frac{25(13 + 2\sqrt{2})}{(13 - 2\sqrt{2})(13 + 2\sqrt{2})} = \frac{25(13 + 2\sqrt{2})}{169 - 4 \cdot 2} = \frac{25(13 + 2\sqrt{2})}{161} = \frac{325 + 50\sqrt{2}}{161}$.
Если бы $x_1$ было корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, то $x_1$ должно было бы иметь вид $a+b\sqrt{d}$ или $k\sqrt{d}$. В данном случае $x_1$ не упрощается до такого вида. Корень $x_1$ не принадлежит никакому квадратичному расширению поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$.
Следовательно, составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами для данного корня невозможно. Мы можем найти биквадратное уравнение.
Пусть $x = x_1$. Из $x^2 = \frac{325 + 50\sqrt{2}}{161}$ выразим радикал:
$161x^2 = 325 + 50\sqrt{2}$.
$161x^2 - 325 = 50\sqrt{2}$.
Возведем в квадрат: $(161x^2 - 325)^2 = (50\sqrt{2})^2 = 2500 \cdot 2 = 5000$.
Возводить в квадрат $161x^2-325$ приведет к громоздким вычислениям. Вернемся к более раннему шагу $13x^2 - 2\sqrt{2}x^2 = 25$, где $x$ еще не было заменено на $x_1$.
$13x^2 - 25 = 2\sqrt{2}x^2$.
Возведем в квадрат: $(13x^2 - 25)^2 = (2\sqrt{2}x^2)^2$.
$169x^4 - 650x^2 + 625 = 8x^4$.
$161x^4 - 650x^2 + 625 = 0$.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

4) Упростим корень:
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Корень имеет вид $a+b\sqrt{d}$. Второй сопряженный корень $x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Найдем сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}) = 1$.
$x_1 \cdot x_2 = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Уравнение: $x^2 - (1)x - \frac{1}{2} = 0$.
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим все уравнение на 2: $2x^2 - 2x - 1 = 0$.
Ответ: $2x^2 - 2x - 1 = 0$.

5) Упростим корень:
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$.
Как и в пункте 2), полученный корень имеет вид $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c}$ и не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Найдем биквадратное уравнение.
Пусть $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$.
$2x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$.
Возведем в квадрат: $(2x)^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$.
$4x^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$.
$2x^2 = 5 + \sqrt{21}$.
$2x^2 - 5 = \sqrt{21}$.
Возведем в квадрат еще раз: $(2x^2 - 5)^2 = 21$.
$4x^4 - 20x^2 + 25 = 21$.
$4x^4 - 20x^2 + 4 = 0$.
Разделим на 4: $x^4 - 5x^2 + 1 = 0$.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.

6) Рассмотрим корень $x_1 = \frac{3}{\sqrt{23 - 2\sqrt{3}}}$.
Как и в пункте 3), данный корень не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Найдем биквадратное уравнение, которому он удовлетворяет.
Пусть $x = \frac{3}{\sqrt{23 - 2\sqrt{3}}}$.
$x^2 = \frac{9}{23 - 2\sqrt{3}}$.
$x^2(23 - 2\sqrt{3}) = 9$.
$23x^2 - 9 = 2\sqrt{3}x^2$.
Возведем обе части в квадрат: $(23x^2 - 9)^2 = (2\sqrt{3}x^2)^2$.
$529x^4 - 2 \cdot 23 \cdot 9 x^2 + 81 = 4 \cdot 3 x^4$.
$529x^4 - 414x^2 + 81 = 12x^4$.
$517x^4 - 414x^2 + 81 = 0$.
Ответ: Составить требуемое квадратное уравнение невозможно.