Номер 8.13, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.13. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен:

1) $-\sqrt{13}$;

2) $\sqrt{7}$;

3) $3 - \sqrt{5}$;

4) $-\sqrt{23}$;

5) $1 - \sqrt{7}$;

6) $4 - \sqrt{5}$.

Для решения этой задачи используется свойство корней квадратных уравнений с рациональными коэффициентами: если один корень уравнения является иррациональным числом вида $a + \sqrt{b}$ (где $a, b$ — рациональные числа), то второй корень обязательно будет ему сопряженным, то есть $a - \sqrt{b}$. Зная оба корня, $x_1$ и $x_2$, можно составить приведенное квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) Дан корень $x_1 = -\sqrt{13}$.

Так как коэффициенты уравнения должны быть рациональными, второй корень $x_2$ является сопряженным к первому. Для $x_1 = 0 - \sqrt{13}$ сопряженным будет $x_2 = 0 + \sqrt{13} = \sqrt{13}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -\sqrt{13} + \sqrt{13} = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{13})(\sqrt{13}) = -13$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (0)x + (-13) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 13 = 0$.

Ответ: $x^2 - 13 = 0$.

2) Дан корень $x_1 = \sqrt{7}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = -\sqrt{7}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = \sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{7})(-\sqrt{7}) = -7$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (0)x + (-7) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 7 = 0$.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

3) Дан корень $x_1 = 3 - \sqrt{5}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{5}) + (3 + \sqrt{5}) = 6$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - 6x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 - 6x + 4 = 0$.

4) Дан корень $x_1 = -\sqrt{23}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = \sqrt{23}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = -\sqrt{23} + \sqrt{23} = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{23})(\sqrt{23}) = -23$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (0)x + (-23) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 23 = 0$.

Ответ: $x^2 - 23 = 0$.

5) Дан корень $x_1 = 1 - \sqrt{7}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = 1 + \sqrt{7}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (1 - \sqrt{7}) + (1 + \sqrt{7}) = 2$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7}) = 1^2 - (\sqrt{7})^2 = 1 - 7 = -6$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - 2x + (-6) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $x^2 - 2x - 6 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 6 = 0$.

6) Дан корень $x_1 = 4 - \sqrt{5}$.

Второй корень будет сопряженным: $x_2 = 4 + \sqrt{5}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{5}) + (4 + \sqrt{5}) = 8$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$.

Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - 8x + 11 = 0$.

Ответ: $x^2 - 8x + 11 = 0$.