Номер 8.6, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Составьте квадратные уравнения с корнями (8.6–8.8):

8.6. 1) -5 и -2;

2) -7 и 2;

3) $2\frac{2}{7}$ и 3;

4) -5,4 и 8;

5) 1,2 и 4,5;

6) 5 и 23,2.

1) Чтобы составить квадратное уравнение с корнями $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Искомое уравнение будет иметь вид $x^2 + px + q = 0$, где $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -5 + (-2) = -7$.
Следовательно, коэффициент $p = -(-7) = 7$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-2) = 10$.
Следовательно, коэффициент $q = 10$.
Подставив эти значения, получим искомое уравнение: $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Ответ: $x^2 + 7x + 10 = 0$.

2) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$. Воспользуемся формулой $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -7 + 2 = -5$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot 2 = -14$.
Подставим найденные значения в формулу:
$x^2 - (-5)x + (-14) = 0$
$x^2 + 5x - 14 = 0$.
Ответ: $x^2 + 5x - 14 = 0$.

3) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = 2\frac{2}{7}$ и $x_2 = 3$.
Сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $x_1 = 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{16}{7} + 3 = \frac{16}{7} + \frac{21}{7} = \frac{37}{7}$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{16}{7} \cdot 3 = \frac{48}{7}$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - \frac{37}{7}x + \frac{48}{7} = 0$.
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на 7:
$7x^2 - 37x + 48 = 0$.
Ответ: $7x^2 - 37x + 48 = 0$.

4) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = -5,4$ и $x_2 = 8$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -5,4 + 8 = 2,6$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5,4 \cdot 8 = -43,2$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 2,6x - 43,2 = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 10:
$10x^2 - 26x - 432 = 0$.
Все коэффициенты четные, поэтому можно сократить уравнение, разделив его на 2:
$5x^2 - 13x - 216 = 0$.
Ответ: $5x^2 - 13x - 216 = 0$.

5) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = 1,2$ и $x_2 = 4,5$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 1,2 + 4,5 = 5,7$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1,2 \cdot 4,5 = 5,4$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 5,7x + 5,4 = 0$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10x^2 - 57x + 54 = 0$.
Ответ: $10x^2 - 57x + 54 = 0$.

6) Составим квадратное уравнение с корнями $x_1 = 5$ и $x_2 = 23,2$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = 5 + 23,2 = 28,2$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 23,2 = 116$.
Подставим значения в уравнение $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - 28,2x + 116 = 0$.
Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 10:
$10x^2 - 282x + 1160 = 0$.
Разделим все коэффициенты на их общий делитель 2:
$5x^2 - 141x + 580 = 0$.
Ответ: $5x^2 - 141x + 580 = 0$.