Номер 8.2, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (устно) (8.2—8.5):

8.2. 1) $x^2 + 5x - 6 = 0;$

2) $x^2 - 9x + 18 = 0;$

3) $x^2 + 9x + 14 = 0;$

4) $x^2 - 4x + 5 = 0.$

1) Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для его решения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $q$.
В данном уравнении $p=5$ и $q=-6$. Таким образом, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Методом подбора находим, что этими числами являются $1$ и $-6$.
Проверка: $1 + (-6) = -5$ и $1 \cdot (-6) = -6$. Условия выполняются.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -6$.

2) Это приведенное квадратное уравнение $x^2 - 9x + 18 = 0$. Применим теорему Виета. В этом уравнении $p = -9$ и $q = 18$.
Составим систему для корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$
$x_1 \cdot x_2 = 18$
Нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 18. Этими числами являются $3$ и $6$.
Проверка: $3 + 6 = 9$ и $3 \cdot 6 = 18$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 6$.

3) Дано уравнение $x^2 + 9x + 14 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $p = 9$ и $q = 14$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -9$
$x_1 \cdot x_2 = 14$
Поскольку произведение корней положительно ($14$), а их сумма отрицательна ($-9$), оба корня должны быть отрицательными. Ищем два отрицательных числа, которые в произведении дают 14. Это могут быть пары $(-1, -14)$ или $(-2, -7)$. Проверим сумму для каждой пары: $-1 + (-14) = -15$; $-2 + (-7) = -9$. Вторая пара чисел является решением.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -7$.

4) Для уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$ определим наличие действительных корней с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид $D = b^2 - 4ac$.
В данном уравнении коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=5$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$
Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.