Номер 8.8, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.8. 1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$;

2) $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$;

3) $3 - \sqrt{7}$ и $2\sqrt{7}$;

4) $-1 - \sqrt{7}$ и $-1 + \sqrt{7}$.

1) Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}$. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей области своего определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поскольку $3 < 7$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{7}$. Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt{7}$.

2) Сравним числа $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$. Число $-\sqrt{5}$ является отрицательным, так как $\sqrt{5} > 0$. Число $\sqrt{2}$ является положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Следовательно, $-\sqrt{5} < \sqrt{2}$. Ответ: $-\sqrt{5} < \sqrt{2}$.

3) Сравним числа $3 - \sqrt{7}$ и $2\sqrt{7}$. Определим знак первого числа. Для этого сравним $3$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, а значит $3 - \sqrt{7} > 0$. Число $2\sqrt{7}$ также является положительным. Сравним выражения, прибавив к обоим $\sqrt{7}$. Знак неравенства при этом не изменится. Сравниваем $3$ и $2\sqrt{7} + \sqrt{7}$, то есть $3$ и $3\sqrt{7}$. Так как $7 > 1$, то $\sqrt{7} > \sqrt{1} = 1$. Умножим обе части неравенства на 3: $3\sqrt{7} > 3$. Следовательно, $3 - \sqrt{7} < 2\sqrt{7}$. Ответ: $3 - \sqrt{7} < 2\sqrt{7}$.

4) Сравним числа $-1 - \sqrt{7}$ и $-1 + \sqrt{7}$. Прибавим к обоим числам 1. От этого знак неравенства не изменится. Получим числа для сравнения: $(-1 - \sqrt{7}) + 1 = -\sqrt{7}$ и $(-1 + \sqrt{7}) + 1 = \sqrt{7}$. Число $-\sqrt{7}$ является отрицательным, а число $\sqrt{7}$ — положительным. Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, то $-\sqrt{7} < \sqrt{7}$. Следовательно, $-1 - \sqrt{7} < -1 + \sqrt{7}$. Ответ: $-1 - \sqrt{7} < -1 + \sqrt{7}$.