Номер 8.4, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.4. 1) $x^2 - (\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0;$ 2) $x^2 - (\sqrt{2} - 2)x - 2\sqrt{2} = 0;$

3) $x^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})x - \sqrt{6} = 0;$ 4) $x^2 - (2\sqrt{3} + 1)x + 2\sqrt{3} = 0.$

1) Решим уравнение $x^2 - (\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Для таких уравнений удобно использовать теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену.

В данном случае:

$x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{3} + 1)) = \sqrt{3} + 1$

$x_1 \cdot x_2 = \sqrt{3}$

Методом подбора легко определить, что корнями являются числа $\sqrt{3}$ и $1$.

Проверим:

Сумма: $\sqrt{3} + 1$.

Произведение: $\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Условия выполняются, следовательно, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \sqrt{3}$.

2) Решим уравнение $x^2 - (\sqrt{2} - 2)x - 2\sqrt{2} = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. Применим теорему Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{2} - 2)) = \sqrt{2} - 2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2\sqrt{2}$.

Подберем корни, исходя из их произведения. Заметим, что $-2\sqrt{2}$ можно представить как произведение чисел $\sqrt{2}$ и $-2$.

Проверим их сумму: $\sqrt{2} + (-2) = \sqrt{2} - 2$. Сумма совпадает с требуемой.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = \sqrt{2}$.

3) Решим уравнение $x^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})x - \sqrt{6} = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{3} - \sqrt{2})) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -\sqrt{6}$.

Произведение корней $-\sqrt{6}$ можно разложить на множители как $\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{2})$, так как $\sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}\sqrt{2}$.

Проверим сумму этих множителей: $\sqrt{3} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Это значение совпадает с требуемой суммой корней.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{3}$.

4) Решим уравнение $x^2 - (2\sqrt{3} + 1)x + 2\sqrt{3} = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(2\sqrt{3} + 1)) = 2\sqrt{3} + 1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2\sqrt{3}$.

Как и в первом задании, легко подобрать корни. Это числа $2\sqrt{3}$ и $1$.

Проверим их:

Сумма: $2\sqrt{3} + 1$.

Произведение: $2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$.

Условия теоремы Виета выполняются, значит, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2\sqrt{3}$.