Вопросы, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для какого квадратного уравнения значение суммы его корней равно 2, а произведения — 5?

2. Приведите пример устного (методом подбора) нахождения корней квадратного уравнения, используя теорему Виета.

1. Для нахождения квадратного уравнения по известным значениям суммы и произведения его корней используется теорема, обратная теореме Виета. Она гласит, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

В данном случае нам даны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$

Сравнивая эти значения с формулами Виета для приведенного уравнения, находим коэффициенты $p$ и $q$:

$-p = 2$, следовательно, $p = -2$.

$q = -5$.

Теперь подставим найденные коэффициенты $p$ и $q$ в общую формулу приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 + (-2)x + (-5) = 0$

$x^2 - 2x - 5 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $x^2 - 2x - 5 = 0$

2. Приведем пример устного нахождения корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Рассмотрим уравнение:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -8$ и $q = 15$. Согласно теореме Виета, для его корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться два условия:

1. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p = -(-8) = 8$.

2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q = 15$.

Теперь устно подберем два числа, которые удовлетворяют этим двум условиям. Начнем с произведения. Нам нужно найти два числа, которые при умножении дают 15. Поскольку их сумма (8) и произведение (15) положительны, оба корня должны быть положительными.

Пробуем пары целых положительных множителей числа 15:

- Пара 1 и 15: произведение $1 \cdot 15 = 15$, но сумма $1 + 15 = 16$. Не подходит.

- Пара 3 и 5: произведение $3 \cdot 5 = 15$, и сумма $3 + 5 = 8$. Подходит!

Таким образом, мы нашли корни уравнения методом подбора: это числа 3 и 5.

Ответ: Пример: для уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ по теореме Виета сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$. Методом подбора находим, что эти условия выполняются для чисел 3 и 5, которые и являются корнями данного уравнения.