Номер 7.36, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.36. Известно, что $\frac{x+2y}{x} = 5$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{4x - 2y}{3x}$;

2) $\frac{5x - 2y}{2x + y}$;

3) $\frac{4y^2 - 3xy}{x^2 - 2xy}$;

4) $\frac{-x + 8y}{4x - 3y}$.

Для решения задачи сначала преобразуем исходное выражение, чтобы найти соотношение между переменными x и y.

Дано: $\frac{x+2y}{x} = 5$.

Так как в знаменателе находится x, то $x \ne 0$. Мы можем разделить числитель почленно на знаменатель: $\frac{x}{x} + \frac{2y}{x} = 5$

$1 + \frac{2y}{x} = 5$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $\frac{2y}{x} = 4$

Разделим обе части на 2: $\frac{y}{x} = 2$

Отсюда получаем, что $y = 2x$. Теперь мы можем использовать это соотношение для нахождения значений предложенных выражений.

1) $\frac{4x-2y}{3x}$

Подставим $y = 2x$ в выражение: $\frac{4x-2(2x)}{3x} = \frac{4x-4x}{3x} = \frac{0}{3x} = 0$.

Ответ: 0

2) $\frac{5x-2y}{2x+y}$

Подставим $y = 2x$ в выражение: $\frac{5x-2(2x)}{2x+(2x)} = \frac{5x-4x}{4x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.

В качестве альтернативного решения можно было разделить числитель и знаменатель дроби на x (так как $x \ne 0$) и подставить значение $\frac{y}{x} = 2$: $\frac{\frac{5x-2y}{x}}{\frac{2x+y}{x}} = \frac{5 - 2\frac{y}{x}}{2 + \frac{y}{x}} = \frac{5 - 2(2)}{2 + 2} = \frac{5-4}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) $\frac{4y^2-3xy}{x^2-2xy}$

Подставим $y = 2x$ в выражение: $\frac{4(2x)^2-3x(2x)}{x^2-2x(2x)} = \frac{4(4x^2)-6x^2}{x^2-4x^2} = \frac{16x^2-6x^2}{-3x^2} = \frac{10x^2}{-3x^2} = -\frac{10}{3}$.

Альтернативное решение: разделим числитель и знаменатель на $x^2$ и подставим $\frac{y}{x} = 2$: $\frac{\frac{4y^2-3xy}{x^2}}{\frac{x^2-2xy}{x^2}} = \frac{4(\frac{y}{x})^2 - 3\frac{y}{x}}{1 - 2\frac{y}{x}} = \frac{4(2)^2 - 3(2)}{1 - 2(2)} = \frac{4 \cdot 4 - 6}{1 - 4} = \frac{16 - 6}{-3} = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}$

4) $\frac{-x+8y}{4x-3y}$

Подставим $y = 2x$ в выражение: $\frac{-x+8(2x)}{4x-3(2x)} = \frac{-x+16x}{4x-6x} = \frac{15x}{-2x} = -\frac{15}{2}$.

Альтернативное решение: разделим числитель и знаменатель на x и подставим $\frac{y}{x} = 2$: $\frac{\frac{-x+8y}{x}}{\frac{4x-3y}{x}} = \frac{-1 + 8\frac{y}{x}}{4 - 3\frac{y}{x}} = \frac{-1 + 8(2)}{4 - 3(2)} = \frac{-1 + 16}{4 - 6} = \frac{15}{-2} = -\frac{15}{2}$.

Ответ: $-\frac{15}{2}$