Номер 7.32, страница 69 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.32. Решите уравнение:

1) $x^2 - 2ax + a^2 - b^2 = 0;$

2) $x^2 - ax - 2a^2 = 0;$

3) $x^2 - 2(a + b)x + 4ab = 0;$

4) $x^2 - (3a - 2)x + 2a^2 - a - 3 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2ax + a^2 - b^2 = 0$.

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат: $x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2$.

Подставим это в уравнение:

$(x - a)^2 - b^2 = 0$.

Это выражение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$:

$((x - a) - b)((x - a) + b) = 0$,

$(x - a - b)(x - a + b) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю:

$x - a - b = 0$ или $x - a + b = 0$.

Отсюда находим два корня:

$x_1 = a + b$,

$x_2 = a - b$.

Ответ: $x_1 = a + b, x_2 = a - b$.

2) Дано уравнение $x^2 - ax - 2a^2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Можно решить его, используя теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $a$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $-2a^2$.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = a \\ x_1 \cdot x_2 = -2a^2 \end{cases}$

Методом подбора легко найти корни: $x_1 = 2a$ и $x_2 = -a$.

Проверка: $2a + (-a) = a$ и $(2a)(-a) = -2a^2$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2) = a^2 + 8a^2 = 9a^2$.

$x = \frac{-(-a) \pm \sqrt{9a^2}}{2} = \frac{a \pm 3a}{2}$.

$x_1 = \frac{a + 3a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

$x_2 = \frac{a - 3a}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

Ответ: $x_1 = 2a, x_2 = -a$.

3) Дано уравнение $x^2 - 2(a + b)x + 4ab = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = ( -2(a+b) )^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4ab) = 4(a+b)^2 - 16ab$.

$D = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 16ab = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 16ab = 4a^2 - 8ab + 4b^2$.

Свернем полученное выражение в полный квадрат:

$D = 4(a^2 - 2ab + b^2) = 4(a - b)^2$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{2(a+b) \pm \sqrt{4(a-b)^2}}{2} = \frac{2(a+b) \pm 2(a-b)}{2} = (a+b) \pm (a-b)$.

Находим два корня:

$x_1 = (a+b) + (a-b) = 2a$.

$x_2 = (a+b) - (a-b) = 2b$.

Ответ: $x_1 = 2a, x_2 = 2b$.

4) Дано уравнение $x^2 - (3a - 2)x + 2a^2 - a - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$, где свободный член $C = 2a^2 - a - 3$ сам является квадратным трехчленом от $a$.

Разложим свободный член на множители. Для этого найдем корни уравнения $2a^2 - a - 3 = 0$ относительно $a$.

Дискриминант $D_a = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Корни: $a_1 = \frac{1+\sqrt{25}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $a_2 = \frac{1-\sqrt{25}}{4} = -1$.

Тогда $2a^2 - a - 3 = 2(a - \frac{3}{2})(a - (-1)) = (2a - 3)(a + 1)$.

Подставим разложение в исходное уравнение:

$x^2 - (3a - 2)x + (2a - 3)(a + 1) = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3a - 2$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = (2a - 3)(a + 1)$.

Отсюда видно, что корнями являются $x_1 = 2a - 3$ и $x_2 = a + 1$.

Проверим сумму: $(2a - 3) + (a + 1) = 3a - 2$. Условие выполняется.

Ответ: $x_1 = 2a - 3, x_2 = a + 1$.