Номер 7.26, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.26. Выразите p через n из равенства:

1) $p^2 - 3pn - 4n^2 = 0;$

2) $p^2 + 5pn + 4n^2 = 0;$

3) $p^2 + 5pn - 6n^2 = 0;$

4) $21p^2 - 4pn - n^2 = 0.$

1) $p^2 - 3pn - 4n^2 = 0$
Чтобы выразить $p$ через $n$, решим это уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-3n$, $c=-4n^2$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4n^2) = 9n^2 + 16n^2 = 25n^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p = \frac{-(-3n) \pm \sqrt{25n^2}}{2 \cdot 1} = \frac{3n \pm 5n}{2}$.
Отсюда получаем два решения:
$p_1 = \frac{3n + 5n}{2} = \frac{8n}{2} = 4n$.
$p_2 = \frac{3n - 5n}{2} = \frac{-2n}{2} = -n$.
Ответ: $p = 4n$ или $p = -n$.

2) $p^2 + 5pn + 4n^2 = 0$
Решим уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=5n$, $c=4n^2$.
Дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (5n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4n^2) = 25n^2 - 16n^2 = 9n^2$.
Корни уравнения:
$p = \frac{-5n \pm \sqrt{9n^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5n \pm 3n}{2}$.
Два решения:
$p_1 = \frac{-5n + 3n}{2} = \frac{-2n}{2} = -n$.
$p_2 = \frac{-5n - 3n}{2} = \frac{-8n}{2} = -4n$.
Ответ: $p = -n$ или $p = -4n$.

3) $p^2 + 5pn - 6n^2 = 0$
Решим уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=5n$, $c=-6n^2$.
Дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (5n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6n^2) = 25n^2 + 24n^2 = 49n^2$.
Корни уравнения:
$p = \frac{-5n \pm \sqrt{49n^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5n \pm 7n}{2}$.
Два решения:
$p_1 = \frac{-5n + 7n}{2} = \frac{2n}{2} = n$.
$p_2 = \frac{-5n - 7n}{2} = \frac{-12n}{2} = -6n$.
Ответ: $p = n$ или $p = -6n$.

4) $21p^2 - 4pn - n^2 = 0$
Решим уравнение как квадратное относительно $p$.
Коэффициенты: $a=21$, $b=-4n$, $c=-n^2$.
Дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4n)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-n^2) = 16n^2 + 84n^2 = 100n^2$.
Корни уравнения:
$p = \frac{-(-4n) \pm \sqrt{100n^2}}{2 \cdot 21} = \frac{4n \pm 10n}{42}$.
Два решения:
$p_1 = \frac{4n + 10n}{42} = \frac{14n}{42} = \frac{n}{3}$.
$p_2 = \frac{4n - 10n}{42} = \frac{-6n}{42} = -\frac{n}{7}$.
Ответ: $p = \frac{n}{3}$ или $p = -\frac{n}{7}$.