Номер 7.22, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.22.

1) $y^2 - (2a - 4)y - 8a = 0;$

2) $y^2 + (3p - 2)y = 6p;$

3) $px^2 - (p + 1)x + 1 = 0;$

4) $x^2 + 5ax - 6a^2 = 0.$

1) $y^2 - (2a - 4)y - 8a = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-(2a-4)$, $C=-8a$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-(2a - 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8a) = (2a - 4)^2 + 32a$

$D = 4a^2 - 16a + 16 + 32a = 4a^2 + 16a + 16$

Дискриминант является полным квадратом:

$D = (2a + 4)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$y = \frac{2a - 4 \pm \sqrt{(2a + 4)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a - 4 \pm (2a + 4)}{2}$

Вычислим два корня:

$y_1 = \frac{2a - 4 + 2a + 4}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$

$y_2 = \frac{2a - 4 - (2a + 4)}{2} = \frac{2a - 4 - 2a - 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: $y_1 = 2a, y_2 = -4$.

2) $y^2 + (3p - 2)y = 6p$

Приведем уравнение к стандартному виду $Ay^2 + By + C = 0$:

$y^2 + (3p - 2)y - 6p = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Коэффициенты: $A=1$, $B=3p-2$, $C=-6p$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (3p - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6p) = 9p^2 - 12p + 4 + 24p$

$D = 9p^2 + 12p + 4 = (3p + 2)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$y = \frac{-(3p - 2) \pm \sqrt{(3p + 2)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3p + 2 \pm (3p + 2)}{2}$

Вычислим два корня:

$y_1 = \frac{-3p + 2 + 3p + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-3p + 2 - (3p + 2)}{2} = \frac{-3p + 2 - 3p - 2}{2} = \frac{-6p}{2} = -3p$

Ответ: $y_1 = 2, y_2 = -3p$.

3) $px^2 - (p + 1)x + 1 = 0$

Это уравнение с параметром $p$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $p = 0$. Уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

$x = 1$

Случай 2: $p \neq 0$. Уравнение является квадратным относительно $x$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-(p + 1))^2 - 4 \cdot p \cdot 1 = (p + 1)^2 - 4p = p^2 + 2p + 1 - 4p = p^2 - 2p + 1 = (p - 1)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{p + 1 \pm \sqrt{(p - 1)^2}}{2p} = \frac{p + 1 \pm (p - 1)}{2p}$

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{p + 1 + (p - 1)}{2p} = \frac{2p}{2p} = 1$

$x_2 = \frac{p + 1 - (p - 1)}{2p} = \frac{p + 1 - p + 1}{2p} = \frac{2}{2p} = \frac{1}{p}$

Ответ: если $p = 0$, то $x = 1$; если $p \neq 0$, то $x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{p}$.

4) $x^2 + 5ax - 6a^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Коэффициенты: $A=1$, $B=5a$, $C=-6a^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6a^2) = 25a^2 + 24a^2 = 49a^2 = (7a)^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{-5a \pm \sqrt{(7a)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{-5a \pm 7a}{2}$

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{-5a + 7a}{2} = \frac{2a}{2} = a$

$x_2 = \frac{-5a - 7a}{2} = \frac{-12a}{2} = -6a$

Ответ: $x_1 = a, x_2 = -6a$.