Номер 7.17, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.17. Решите уравнение:

1) $ \frac{4a^2 - 1}{3} = (10a - 9)a; $

2) $ \frac{a^2 + a}{2} = \frac{8a - 7}{3}; $

3) $ 11(a + 1) = \frac{a^2 - 1}{2}; $

4) $ (2a - 1) \cdot (a - 5) = a^2 - 5. $

1) Исходное уравнение: $\frac{4a^2 - 1}{3} = (10a - 9)a$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{4a^2 - 1}{3} = 10a^2 - 9a$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:
$4a^2 - 1 = 3(10a^2 - 9a)$
$4a^2 - 1 = 30a^2 - 27a$.
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$30a^2 - 4a^2 - 27a + 1 = 0$
$26a^2 - 27a + 1 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{-(-27) + \sqrt{625}}{2 \cdot 26} = \frac{27 + 25}{52} = \frac{52}{52} = 1$.
$a_2 = \frac{-(-27) - \sqrt{625}}{2 \cdot 26} = \frac{27 - 25}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
Ответ: $1; \frac{1}{26}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{a^2 + a}{2} = \frac{8a - 7}{3}$.
Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3(a^2 + a) = 2(8a - 7)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3a^2 + 3a = 16a - 14$.
Перенесём все члены в левую часть:
$3a^2 + 3a - 16a + 14 = 0$
$3a^2 - 13a + 14 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.
Найдём корни уравнения:
$a_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$a_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

3) Исходное уравнение: $11(a + 1) = \frac{a^2 - 1}{2}$.
Заметим, что в правой части находится формула разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Подставим это в уравнение:
$11(a + 1) = \frac{(a - 1)(a + 1)}{2}$.
Перенесём все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:
$11(a + 1) - \frac{(a - 1)(a + 1)}{2} = 0$
$(a + 1) \cdot (11 - \frac{a - 1}{2}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $a + 1 = 0 \implies a_1 = -1$.
2) $11 - \frac{a - 1}{2} = 0 \implies 11 = \frac{a - 1}{2} \implies 22 = a - 1 \implies a_2 = 23$.
Ответ: $-1; 23$.

4) Исходное уравнение: $(2a - 1)(a - 5) = a^2 - 5$.
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2a^2 - 10a - a + 5 = a^2 - 5$.
Приведём подобные слагаемые:
$2a^2 - 11a + 5 = a^2 - 5$.
Перенесём все члены из правой части в левую:
$2a^2 - a^2 - 11a + 5 + 5 = 0$
$a^2 - 11a + 10 = 0$.
Это приведённое квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 10.
$a_1 + a_2 = 11$
$a_1 \cdot a_2 = 10$
Подбором находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 10$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.
$a_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
$a_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1; 10$.