Номер 7.16, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.16.

1) $(x+1)^2 = (2x-1)^2;$

2) $(2x-3)^2 = 11x - 19;$

3) $15(x+1)^2 = 15x^2 + 17;$

4) $(x-2)^2 = -2x + 31.$

1) Решим уравнение $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2$

$x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

$4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 1 = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки.

$3x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому имеем два случая:

$3x = 0$ или $x - 2 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

2) Решим уравнение $(2x - 3)^2 = 11x - 19$.

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 11x - 19$

$4x^2 - 12x + 9 = 11x - 19$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение.

$4x^2 - 12x - 11x + 9 + 19 = 0$

$4x^2 - 23x + 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 4, b = -23, c = 28$.

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 16 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-23) + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{-(-23) - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Ответ: $4; \frac{7}{4}$.

3) Решим уравнение $15(x + 1)^2 = 15x^2 + 17$.

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$15(x^2 + 2x + 1) = 15x^2 + 17$

Умножим выражение в скобках на 15.

$15x^2 + 30x + 15 = 15x^2 + 17$

Вычтем $15x^2$ из обеих частей уравнения.

$30x + 15 = 17$

Теперь решим получившееся линейное уравнение.

$30x = 17 - 15$

$30x = 2$

$x = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$.

4) Решим уравнение $(x - 2)^2 = -2x + 31$.

Раскроем скобки в левой части.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = -2x + 31$

$x^2 - 4x + 4 = -2x + 31$

Перенесем все члены в левую часть.

$x^2 - 4x + 2x + 4 - 31 = 0$

$x^2 - 2x - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a = 1, b = -2, c = -27$.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 4 + 108 = 112$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{7}}{2}$

Сократим дробь на 2, разделив числитель и знаменатель.

$x = 1 \pm 2\sqrt{7}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = 1 + 2\sqrt{7}$

$x_2 = 1 - 2\sqrt{7}$

Ответ: $1 \pm 2\sqrt{7}$.