Номер 7.9, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.9. 1) $3y^2 + 7y + 4 = 0;$

2) $3y^2 - 6y + 3 = 0;$

3) $9y^2 - 6y + 1 = 0;$

4) $2y^2 + 9y - 486 = 0.$

1) $3y^2 + 7y + 4 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где коэффициенты $a=3$, $b=7$, $c=4$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни уравнения находятся по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 1}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $y_1 = -\frac{4}{3}$, $y_2 = -1$.

2) $3y^2 - 6y + 3 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:

$y^2 - 2y + 1 = 0$.

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности $(y - 1)^2$.

Получаем уравнение $(y - 1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $y - 1 = 0$, то есть $y = 1$.

Уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).

Также можно решить исходное уравнение через дискриминант:

$a=3$, $b=-6$, $c=3$.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $y = \frac{-b}{2a}$.

$y = \frac{-(-6)}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $y = 1$.

3) $9y^2 - 6y + 1 = 0$

Левая часть уравнения является формулой квадрата разности: $(3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2$, что равно $(3y - 1)^2$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде $(3y - 1)^2 = 0$.

Из этого следует, что $3y - 1 = 0$.

$3y = 1$.

$y = \frac{1}{3}$.

Уравнение имеет один действительный корень.

Решение через дискриминант:

$a=9$, $b=-6$, $c=1$.

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, корень один: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}$.

4) $2y^2 + 9y - 486 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=9$, $c=-486$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-486) = 81 + 8 \cdot 486 = 81 + 3888 = 3969$.

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3969} = 63$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-9 - 63}{2 \cdot 2} = \frac{-72}{4} = -18$.

$y_2 = \frac{-9 + 63}{2 \cdot 2} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$.

Ответ: $y_1 = -18$, $y_2 = 13.5$.