Номер 7.8, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.8. 1) $0.25x^2 - x + 1 = 0;$

2) $7x^2 + 18x + 5 = 0;$

3) $-3x^2 + 11x + 4 = 0;$

4) $9x^2 - 4x - 2 = 0.$

1) $0.25x^2 - x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 0.25$, $b = -1$, $c = 1$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$4 \cdot (0.25x^2 - x + 1) = 4 \cdot 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 2)^2 = 0$

Из этого следует, что $x - 2 = 0$.

Решая это простое уравнение, находим единственный корень:

$x = 2$

Проверка через дискриминант:

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$ для исходного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 0.25 \cdot 1 = 1 - 1 = 0$

Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень, который вычисляется по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-1)}{2 \cdot 0.25} = \frac{1}{0.5} = 2$

Ответ: $2$.

2) $7x^2 + 18x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 7$, $b = 18$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 324 - 140 = 184$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-18 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 7} = \frac{-18 \pm \sqrt{4 \cdot 46}}{14} = \frac{-18 \pm 2\sqrt{46}}{14}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x_{1,2} = \frac{2(-9 \pm \sqrt{46})}{14} = \frac{-9 \pm \sqrt{46}}{7}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{46}}{7}$ и $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{46}}{7}$.

Ответ: $\frac{-9 - \sqrt{46}}{7}, \frac{-9 + \sqrt{46}}{7}$.

3) $-3x^2 + 11x + 4 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$3x^2 - 11x - 4 = 0$

Теперь это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3$, $b = -11$, $c = -4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm 13}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 13}{6}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Ответ: $-\frac{1}{3}, 4$.

4) $9x^2 - 4x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 9$, $b = -4$, $c = -2$.

Поскольку коэффициент $b$ является четным числом, можно использовать упрощенную формулу для корней. Пусть $k = \frac{b}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Вычислим "четверть дискриминанта" $D_1$ по формуле $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = (-2)^2 - 9 \cdot (-2) = 4 + 18 = 22$

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{22}}{9} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{9}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{22}}{9}$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{22}}{9}$.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{22}}{9}, \frac{2 + \sqrt{22}}{9}$.