Номер 7.3, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.3. Выделите квадрат двучлена и решите уравнение:

1) $x^2 - 2x - 8 = 0;$

2) $2x^2 - 7x + 5 = 0;$

3) $-x^2 - 4x - 7 = 0;$

4) $3x^2 - 2x - 3 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Для выделения квадрата двучлена перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$x^2 - 2x = 8$
Левую часть дополним до полного квадрата. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 2x$, откуда $b=1$. Следовательно, нужно добавить $b^2 = 1^2 = 1$ к обеим частям уравнения:
$x^2 - 2x + 1 = 8 + 1$
$(x - 1)^2 = 9$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 1 = \pm\sqrt{9}$
$x - 1 = \pm3$
Отсюда находим два корня:
$x_1 = 1 + 3 = 4$
$x_2 = 1 - 3 = -2$
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

2) Дано уравнение $2x^2 - 7x + 5 = 0$.
Разделим все члены уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 2:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{5}{2} = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{5}{2}$
Дополним левую часть до полного квадрата. Здесь $a=x$, $2ab = \frac{7}{2}x$, откуда $b = \frac{7}{4}$. Добавляем $b^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ к обеим частям:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = -\frac{5}{2} + \frac{49}{16}$
$(x - \frac{7}{4})^2 = -\frac{40}{16} + \frac{49}{16}$
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{9}{16}$
Извлекаем квадратный корень:
$x - \frac{7}{4} = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$
$x - \frac{7}{4} = \pm\frac{3}{4}$
Находим корни:
$x_1 = \frac{7}{4} + \frac{3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{7}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{5}{2}$.

3) Дано уравнение $-x^2 - 4x - 7 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$x^2 + 4x + 7 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 + 4x = -7$
Дополним левую часть до полного квадрата. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Здесь $a=x$, $2ab=4x$, откуда $b=2$. Добавляем $b^2 = 2^2 = 4$ к обеим частям:
$x^2 + 4x + 4 = -7 + 4$
$(x + 2)^2 = -3$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $(x+2)^2 \ge 0$, а правая часть равна -3, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: действительных корней нет.

4) Дано уравнение $3x^2 - 2x - 3 = 0$.
Разделим все члены уравнения на 3:
$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 - \frac{2}{3}x = 1$
Дополним левую часть до полного квадрата. Здесь $a=x$, $2ab = \frac{2}{3}x$, откуда $b = \frac{1}{3}$. Добавляем $b^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ к обеим частям:
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$
$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{10}{9}$
Извлекаем квадратный корень:
$x - \frac{1}{3} = \pm\sqrt{\frac{10}{9}}$
$x - \frac{1}{3} = \pm\frac{\sqrt{10}}{3}$
Находим корни:
$x = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{10}}{3}$
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$
Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$.