Номер 6.30, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.30. Вычислите наиболее рациональным способом:

1) $\frac{5^8 - 1}{313 \cdot (25^2 - 1)}$

2) $\frac{3^{12} - 1}{365 \cdot (9^3 - 1)}$

3) $\frac{76^3 + 57^3}{76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2}$

1) $\frac{5^8 - 1}{313 \cdot (25^2 - 1)}$

Для решения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и свойством степеней $(a^m)^n = a^{mn}$.

Преобразуем числитель дроби, представив $5^8$ как $(5^4)^2$:

$5^8 - 1 = (5^4)^2 - 1^2 = (5^4 - 1)(5^4 + 1)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому $25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

Знаменатель примет вид: $313 \cdot (5^4 - 1)$.

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{(5^4 - 1)(5^4 + 1)}{313 \cdot (5^4 - 1)}$

Сократим общий множитель $(5^4 - 1)$ в числителе и знаменателе. Получим:

$\frac{5^4 + 1}{313}$

Осталось вычислить значение этого выражения. Найдем $5^4$:

$5^4 = 625$.

Тогда: $\frac{625 + 1}{313} = \frac{626}{313} = 2$.

Ответ: 2.

2) $\frac{3^{12} - 1}{365 \cdot (9^3 - 1)}$

Это задание решается аналогично предыдущему. Снова применим формулу разности квадратов.

Преобразуем числитель, представив $3^{12}$ как $(3^6)^2$:

$3^{12} - 1 = (3^6)^2 - 1^2 = (3^6 - 1)(3^6 + 1)$.

В знаменателе представим $9$ как $3^2$. Тогда $9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.

Знаменатель примет вид: $365 \cdot (3^6 - 1)$.

Запишем исходную дробь с преобразованными частями:

$\frac{(3^6 - 1)(3^6 + 1)}{365 \cdot (3^6 - 1)}$

Сократим общий множитель $(3^6 - 1)$:

$\frac{3^6 + 1}{365}$

Теперь вычислим значение $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Подставим это значение в выражение:

$\frac{729 + 1}{365} = \frac{730}{365} = 2$.

Ответ: 2.

3) $\frac{76^3 + 57^3}{76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2}$

Для решения этого примера необходимо узнать формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В числителе нашей дроби стоит сумма кубов, а в знаменателе — неполный квадрат разности. Пусть $a = 76$ и $b = 57$.

Применим формулу к числителю:

$76^3 + 57^3 = (76 + 57)(76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2)$.

Подставим разложение числителя в исходное выражение:

$\frac{(76 + 57)(76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2)}{76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(76^2 - 76 \cdot 57 + 57^2)$. У нас останется:

$76 + 57$

Выполним сложение:

$76 + 57 = 133$.

Ответ: 133.