Номер 6.23, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.23. При каких значениях параметра с уравнение является неполным квадратным:

1) $6x^2 + (c^2 - 4)x + 18 = 0;$

2) $3x^2 - (2c^2 + 4c)x - 24 = 0;$

3) $(c - 2)x^2 + 2(c^2 - 4)x + 8 = 0;$

4) $(c + 3)x^2 + 2(c^2 + 3c)x - 18 = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + k = 0$ является неполным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), а хотя бы один из других коэффициентов (коэффициент при $x$ или свободный член) равен нулю (то есть $b=0$ или $k=0$).

1) Дано уравнение $6x^2 + (c^2 - 4)x + 18 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: старший коэффициент $a=6$, коэффициент при $x$ равен $b = c^2 - 4$, свободный член $k = 18$.

Поскольку $a=6 \neq 0$ и $k=18 \neq 0$, уравнение будет неполным квадратным только в том случае, если коэффициент при $x$ будет равен нулю.

Приравняем коэффициент $b$ к нулю:

$c^2 - 4 = 0$

$c^2 = 4$

$c = \pm\sqrt{4}$

$c_1 = 2, c_2 = -2$

При этих значениях $c$ уравнение становится неполным квадратным.

Ответ: $c = -2$ или $c = 2$.

2) Дано уравнение $3x^2 - (2c^2 + 4c)x - 24 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=3$, $b = -(2c^2 + 4c)$, $k = -24$.

Поскольку $a=3 \neq 0$ и $k=-24 \neq 0$, уравнение будет неполным квадратным, если коэффициент $b$ будет равен нулю.

$-(2c^2 + 4c) = 0$

$2c^2 + 4c = 0$

$2c(c + 2) = 0$

Это равенство выполняется при $c=0$ или при $c+2=0$.

$c_1 = 0, c_2 = -2$

При этих значениях $c$ уравнение является неполным квадратным.

Ответ: $c = -2$ или $c = 0$.

3) Дано уравнение $(c - 2)x^2 + 2(c^2 - 4)x + 8 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = c - 2$, $b = 2(c^2 - 4)$, $k = 8$.

Во-первых, чтобы уравнение было квадратным, старший коэффициент не должен быть равен нулю:

$a = c - 2 \neq 0 \implies c \neq 2$.

Во-вторых, поскольку $k=8 \neq 0$, для того чтобы уравнение было неполным, коэффициент $b$ должен быть равен нулю.

$b = 2(c^2 - 4) = 0$

$c^2 - 4 = 0$

$c^2 = 4$

$c_1 = 2, c_2 = -2$

Теперь нужно учесть условие $c \neq 2$. Значение $c=2$ не подходит, так как при нем старший коэффициент обращается в ноль, и уравнение перестает быть квадратным. При $c=2$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 8 = 0$, то есть $8=0$, что неверно.

Значение $c=-2$ удовлетворяет условию $c \neq 2$. При $c=-2$ уравнение принимает вид $(-2-2)x^2 + 0 \cdot x + 8 = 0$, то есть $-4x^2 + 8 = 0$, что является неполным квадратным уравнением.

Ответ: $c = -2$.

4) Дано уравнение $(c + 3)x^2 + 2(c^2 + 3c)x - 18 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = c + 3$, $b = 2(c^2 + 3c)$, $k = -18$.

Уравнение является квадратным, если $a \neq 0$:

$a = c + 3 \neq 0 \implies c \neq -3$.

Так как $k=-18 \neq 0$, уравнение будет неполным, если $b=0$.

$b = 2(c^2 + 3c) = 0$

$c^2 + 3c = 0$

$c(c + 3) = 0$

$c_1 = 0, c_2 = -3$

Проверим найденные значения с учетом условия $c \neq -3$.

Значение $c=-3$ не подходит, так как при нем старший коэффициент равен нулю. Уравнение становится линейным (или неверным равенством): $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 18 = 0$, то есть $-18=0$.

Значение $c=0$ удовлетворяет условию $c \neq -3$. При $c=0$ уравнение принимает вид $(0+3)x^2 + 0 \cdot x - 18 = 0$, то есть $3x^2 - 18 = 0$, что является неполным квадратным уравнением.

Ответ: $c = 0$.