Номер 6.21, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.21. Составьте квадратное уравнение, если:

1) один его корень равен нулю, второй равен 5;

2) один его корень равен 7, второй равен (-7);

3) один его корень равен $\sqrt{13}$, второй равен $(-\sqrt{13})$.

1) Чтобы составить квадратное уравнение, зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно использовать формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. В данном случае, корни уравнения $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x - 0)(x - 5) = 0$
Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:
$x(x - 5) = 0$
$x^2 - 5x = 0$
Это и есть искомое квадратное уравнение.
Также можно было воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 0 + 5 = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 5 = 0$.
Следовательно, $-p = 5$, значит $p = -5$, а $q = 0$.
Уравнение имеет вид: $x^2 - 5x + 0 = 0$, или $x^2 - 5x = 0$.
Ответ: $x^2 - 5x = 0$

2) В этом случае корни уравнения $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Воспользуемся формулой $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Подставим значения корней:
$(x - 7)(x - (-7)) = 0$
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Слева мы видим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее:
$x^2 - 7^2 = 0$
$x^2 - 49 = 0$
Это искомое квадратное уравнение.
Проверка по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 7 + (-7) = 0$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot (-7) = -49$.
Значит $p = 0$, $q = -49$. Уравнение: $x^2 + 0x - 49 = 0$, или $x^2 - 49 = 0$.
Ответ: $x^2 - 49 = 0$

3) Корни уравнения $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Снова используем формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Подставляем значения корней:
$(x - \sqrt{13})(x - (-\sqrt{13})) = 0$
$(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13}) = 0$
Применяем формулу разности квадратов:
$x^2 - (\sqrt{13})^2 = 0$
$x^2 - 13 = 0$
Это искомое квадратное уравнение.
Проверка по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{13} + (-\sqrt{13}) = 0$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{13} \cdot (-\sqrt{13}) = -13$.
Значит $p = 0$, $q = -13$. Уравнение: $x^2 + 0x - 13 = 0$, или $x^2 - 13 = 0$.
Ответ: $x^2 - 13 = 0$