Номер 6.25, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.25.1) $x^2 - 3x|x| - 8 = 0;$

2) $4x^2 + 5|x|x - 12 = 0;$

3) $x|x| - 3,8x^2 = 0;$

4) $4x^2 + 5|x|x - 9 = 0;$

5) $x^2 - 8\frac{|x|}{x} + 2 = 0;$

6) $5x|x| - 8\frac{|x|}{x} = 0.$

1) $x^2 - 3x|x| - 8 = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль $|x|$. Это делается рассмотрением двух случаев.

Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:
$x^2 - 3x(x) - 8 = 0$
$x^2 - 3x^2 - 8 = 0$
$-2x^2 = 8$
$x^2 = -4$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$x^2 - 3x(-x) - 8 = 0$
$x^2 + 3x^2 - 8 = 0$
$4x^2 = 8$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$
Согласно условию этого случая ($x < 0$), мы выбираем только отрицательный корень: $x = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x = -\sqrt{2}$

2) $4x^2 + 5|x|x - 12 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$4x^2 + 5(x)x - 12 = 0$
$4x^2 + 5x^2 - 12 = 0$
$9x^2 = 12$
$x^2 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$
Так как $x \ge 0$, решением является $x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$4x^2 + 5(-x)x - 12 = 0$
$4x^2 - 5x^2 - 12 = 0$
$-x^2 = 12$
$x^2 = -12$
В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3) $x|x| - 3,8x^2 = 0$

Можно вынести общий множитель $x$ за скобки:
$x(|x| - 3,8x) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
1) $x = 0$
2) $|x| - 3,8x = 0$ или $|x| = 3,8x$.

Решим второе уравнение, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 0$
$x = 3,8x$
$2,8x = 0$
$x = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 0$.
Случай 2: $x < 0$
$-x = 3,8x$
$4,8x = 0$
$x = 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.

Единственный корень, который мы получили, это $x=0$ из первого множителя. Проверим его: $0 \cdot |0| - 3,8 \cdot 0^2 = 0$. Решение верное.

Ответ: $x = 0$

4) $4x^2 + 5|x|x - 9 = 0$

Раскрываем модуль в двух случаях.

Случай 1: $x \ge 0$
$|x| = x$.
$4x^2 + 5x \cdot x - 9 = 0$
$9x^2 = 9$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
С учетом $x \ge 0$, получаем $x = 1$.

Случай 2: $x < 0$
$|x| = -x$.
$4x^2 + 5(-x)x - 9 = 0$
$4x^2 - 5x^2 - 9 = 0$
$-x^2 = 9$
$x^2 = -9$
Действительных корней нет.

Ответ: $x = 1$

5) $x^2 - 8 \frac{|x|}{x} + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Рассмотрим выражение $\frac{|x|}{x}$. Оно равно $1$ при $x > 0$ и $-1$ при $x < 0$.

Случай 1: $x > 0$
Уравнение становится:
$x^2 - 8(1) + 2 = 0$
$x^2 - 6 = 0$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$
Поскольку $x > 0$, решением является $x = \sqrt{6}$.

Случай 2: $x < 0$
Уравнение становится:
$x^2 - 8(-1) + 2 = 0$
$x^2 + 8 + 2 = 0$
$x^2 + 10 = 0$
$x^2 = -10$
Действительных корней нет.

Ответ: $x = \sqrt{6}$

6) $5x|x| - 8 \frac{|x|}{x} = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 0$
$|x| = x$ и $\frac{|x|}{x} = 1$.
$5x(x) - 8(1) = 0$
$5x^2 = 8$
$x^2 = \frac{8}{5}$
$x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}$
С учетом условия $x > 0$, получаем $x = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Случай 2: $x < 0$
$|x| = -x$ и $\frac{|x|}{x} = -1$.
$5x(-x) - 8(-1) = 0$
$-5x^2 + 8 = 0$
$5x^2 = 8$
$x^2 = \frac{8}{5}$
$x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}$
С учетом условия $x < 0$, получаем $x = -\sqrt{\frac{8}{5}} = -\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}$