Номер 6.26, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.26. Выделите квадрат двучлена в выражении:

1) $x^2 - 12x + 39;$

2) $x^2 - 4x - 9;$

3) $2x^2 - 24x + 36;$

4) $-x^2 - \frac{1}{4}x + 7\frac{3}{5};$

5) $-3x^2 - 1\frac{2}{3}x + 39;$

6) $-5x^2 - 7x + 4,5.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 - 12x + 39$, мы используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $a = x$. Член $-12x$ можно представить как удвоенное произведение $-2 \cdot x \cdot 6$. Следовательно, $b = 6$.
Для получения полного квадрата нам не хватает члена $b^2 = 6^2 = 36$. Добавим и вычтем это число, чтобы не изменить выражение:
$x^2 - 12x + 39 = (x^2 - 12x + 36) - 36 + 39$
Теперь выражение в скобках является полным квадратом $(x-6)^2$.
$(x^2 - 12x + 36) - 36 + 39 = (x - 6)^2 + 3$.
Ответ: $(x - 6)^2 + 3$.

2) Рассмотрим выражение $x^2 - 4x - 9$. Снова применяем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$. Член $-4x$ представляем как $-2 \cdot x \cdot 2$. Значит, $b = 2$.
Нам нужен член $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:
$x^2 - 4x - 9 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 9$
Выражение в скобках равно $(x-2)^2$.
$(x^2 - 4x + 4) - 4 - 9 = (x - 2)^2 - 13$.
Ответ: $(x - 2)^2 - 13$.

3) В выражении $2x^2 - 24x + 36$ коэффициент при $x^2$ не равен 1. Сначала вынесем его за скобки:
$2x^2 - 24x + 36 = 2(x^2 - 12x + 18)$.
Теперь выделим полный квадрат в выражении $x^2 - 12x + 18$. Как и в первом пункте, $b=6$, и нам нужно добавить и вычесть $36$:
$x^2 - 12x + 18 = (x^2 - 12x + 36) - 36 + 18 = (x-6)^2 - 18$.
Подставим это обратно в исходное выражение с множителем 2:
$2((x-6)^2 - 18) = 2(x-6)^2 - 2 \cdot 18 = 2(x-6)^2 - 36$.
Ответ: $2(x - 6)^2 - 36$.

4) Рассмотрим выражение $-x^2 - \frac{1}{4}x + 7\frac{3}{5}$. Вынесем за скобки коэффициент -1:
$-x^2 - \frac{1}{4}x + 7\frac{3}{5} = -(x^2 + \frac{1}{4}x) + 7\frac{3}{5}$.
Для выражения в скобках используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$. Член $\frac{1}{4}x$ представляем как $2 \cdot x \cdot \frac{1}{8}$. Значит, $b = \frac{1}{8}$.
Нам нужен член $b^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$. Добавим и вычтем его внутри скобок:
$-(x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{64} - \frac{1}{64}) + 7\frac{3}{5} = -((x + \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64}) + 7\frac{3}{5}$.
Раскроем скобки, изменив знак:
$-(x + \frac{1}{8})^2 + \frac{1}{64} + 7\frac{3}{5}$.
Сложим константы: $7\frac{3}{5} = \frac{38}{5}$.
$\frac{1}{64} + \frac{38}{5} = \frac{1 \cdot 5}{320} + \frac{38 \cdot 64}{320} = \frac{5 + 2432}{320} = \frac{2437}{320} = 7\frac{197}{320}$.
Ответ: $-(x + \frac{1}{8})^2 + 7\frac{197}{320}$.

5) Рассмотрим выражение $-3x^2 - 1\frac{2}{3}x + 39$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$-3x^2 - \frac{5}{3}x + 39$.
Вынесем за скобки коэффициент -3:
$-3(x^2 + \frac{5}{9}x) + 39$.
Выделим полный квадрат в скобках. Здесь $2b = \frac{5}{9}$, значит $b = \frac{5}{18}$.
Нам нужен член $b^2 = (\frac{5}{18})^2 = \frac{25}{324}$. Добавим и вычтем его:
$-3(x^2 + \frac{5}{9}x + \frac{25}{324} - \frac{25}{324}) + 39 = -3((x + \frac{5}{18})^2 - \frac{25}{324}) + 39$.
Раскроем скобки:
$-3(x + \frac{5}{18})^2 + 3 \cdot \frac{25}{324} + 39 = -3(x + \frac{5}{18})^2 + \frac{25}{108} + 39$.
Сложим константы: $39 + \frac{25}{108} = 39\frac{25}{108}$.
Ответ: $-3(x + \frac{5}{18})^2 + 39\frac{25}{108}$.

6) Рассмотрим выражение $-5x^2 - 7x + 4,5$. Вынесем за скобки коэффициент -5:
$-5(x^2 + \frac{7}{5}x) + 4,5 = -5(x^2 + 1,4x) + 4,5$.
Выделим полный квадрат в скобках. Здесь $2b = 1,4$, значит $b = 0,7$.
Нам нужен член $b^2 = (0,7)^2 = 0,49$. Добавим и вычтем его:
$-5(x^2 + 1,4x + 0,49 - 0,49) + 4,5 = -5((x + 0,7)^2 - 0,49) + 4,5$.
Раскроем скобки:
$-5(x + 0,7)^2 + 5 \cdot 0,49 + 4,5$.
Вычислим константы: $5 \cdot 0,49 = 2,45$.
$2,45 + 4,5 = 6,95$.
Ответ: $-5(x + 0,7)^2 + 6,95$.