Номер 6.22, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.22. При каких значениях параметра a только один из корней уравнения равен нулю:

1) $5x^2 - 2x + a - 3 = 0;$

2) $-7x^2 + 2x + 3a - 3.9 = 0;$

3) $-x^2 + 4.6x + a^2 - 36 = 0;$

4) $x^2 - 23x + |a| - 4 = 0?$

Чтобы у квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ был ровно один корень, равный нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Корень $x=0$ должен удовлетворять уравнению. Подставив $x=0$ в уравнение, получаем: $A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C = 0$, что приводит к условию $C=0$. Таким образом, свободный член уравнения должен быть равен нулю.

2. Второй корень уравнения не должен быть равен нулю. Если $C=0$, уравнение принимает вид $Ax^2 + Bx = 0$, или $x(Ax + B) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -B/A$. Чтобы второй корень $x_2$ не был равен нулю, необходимо, чтобы $-B/A \neq 0$, что равносильно условию $B \neq 0$ (поскольку для квадратного уравнения $A \neq 0$).

Итак, для каждого уравнения мы должны приравнять к нулю его свободный член (выражение, не содержащее $x$) и убедиться, что коэффициент при $x$ не равен нулю.

1) $5x^2 - 2x + a - 3 = 0$

В данном уравнении свободный член $C = a - 3$, а коэффициент при $x$ это $B = -2$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $-2 \neq 0$.

Теперь найдем значение $a$, при котором свободный член равен нулю:

$a - 3 = 0$

$a = 3$

При $a=3$ уравнение становится $5x^2 - 2x = 0$, или $x(5x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/5$. Таким образом, только один корень равен нулю.

Ответ: $a = 3$.

2) $-7x^2 + 2x + 3a - 3,9 = 0$

Свободный член $C = 3a - 3,9$, коэффициент при $x$ это $B = 2$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $2 \neq 0$.

Приравняем свободный член к нулю:

$3a - 3,9 = 0$

$3a = 3,9$

$a = 1,3$

При $a=1,3$ уравнение становится $-7x^2 + 2x = 0$, или $x(-7x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/7$. Только один корень равен нулю.

Ответ: $a = 1,3$.

3) $-x^2 + 4,6x + a^2 - 36 = 0$

Свободный член $C = a^2 - 36$, коэффициент при $x$ это $B = 4,6$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $4,6 \neq 0$.

Приравняем свободный член к нулю:

$a^2 - 36 = 0$

$a^2 = 36$

$a_1 = 6, a_2 = -6$

При $a = 6$ или $a = -6$ уравнение становится $-x^2 + 4,6x = 0$, или $x(-x + 4,6) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4,6$. Только один корень равен нулю.

Ответ: $a = \pm 6$.

4) $x^2 - 23x + |a| - 4 = 0$

Свободный член $C = |a| - 4$, коэффициент при $x$ это $B = -23$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $-23 \neq 0$.

Приравняем свободный член к нулю:

$|a| - 4 = 0$

$|a| = 4$

$a_1 = 4, a_2 = -4$

При $a = 4$ или $a = -4$ уравнение становится $x^2 - 23x = 0$, или $x(x - 23) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 23$. Только один корень равен нулю.

Ответ: $a = \pm 4$.