Номер 6.15, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.15. 1) $(x - 2) \cdot (3x - 1) = 2x (x - 4) + 2;$

2) $(3x - 1) \cdot (x - 2) = x - 2x (x - 4);$

3) $(2x - 1)^2 + 4x = 10;$

4) $(3x - 1) \cdot (3x + 1) = 26.$

1)

Дано уравнение $(x - 2) \cdot (3x - 1) = 2x(x - 4) + 2$.

Сначала раскроем скобки в левой и правой частях уравнения.

Левая часть: $(x - 2)(3x - 1) = x \cdot 3x + x \cdot (-1) - 2 \cdot 3x - 2 \cdot (-1) = 3x^2 - x - 6x + 2 = 3x^2 - 7x + 2$.

Правая часть: $2x(x - 4) + 2 = 2x \cdot x - 2x \cdot 4 + 2 = 2x^2 - 8x + 2$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$3x^2 - 7x + 2 = 2x^2 - 8x + 2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду:

$3x^2 - 7x + 2 - 2x^2 + 8x - 2 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (-7x + 8x) + (2 - 2) = 0$.

$x^2 + x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x = 0$ или $x + 1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.

2)

Дано уравнение $(3x - 1) \cdot (x - 2) = x - 2x(x - 4)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(3x - 1)(x - 2) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = 3x^2 - 6x - x + 2 = 3x^2 - 7x + 2$.

Правая часть: $x - 2x(x - 4) = x - (2x^2 - 8x) = x - 2x^2 + 8x = -2x^2 + 9x$.

Приравняем левую и правую части:

$3x^2 - 7x + 2 = -2x^2 + 9x$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 + 2x^2 - 7x - 9x + 2 = 0$.

$5x^2 - 16x + 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант. Коэффициенты: $a = 5, b = -16, c = 2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 256 - 40 = 216$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

Подставим значения в формулу корней:

$x_{1,2} = \frac{-(-16) \pm 6\sqrt{6}}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm 6\sqrt{6}}{10}$.

Сократим дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$x_{1,2} = \frac{2(8 \pm 3\sqrt{6})}{10} = \frac{8 \pm 3\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $x_1 = \frac{8 + 3\sqrt{6}}{5}, x_2 = \frac{8 - 3\sqrt{6}}{5}$.

3)

Дано уравнение $(2x - 1)^2 + 4x = 10$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 4x = 10$.

$4x^2 - 4x + 1 + 4x = 10$.

Приведем подобные слагаемые в левой части (члены $-4x$ и $+4x$ взаимно уничтожаются):

$4x^2 + 1 = 10$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 10 - 1$.

$4x^2 = 9$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак "плюс-минус":

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$.

$x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$ и $x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Ответ: $x_1 = 1.5, x_2 = -1.5$.

4)

Дано уравнение $(3x - 1) \cdot (3x + 1) = 26$.

Левая часть уравнения представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$(3x)^2 - 1^2 = 26$.

$9x^2 - 1 = 26$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$9x^2 = 26 + 1$.

$9x^2 = 27$.

Разделим обе части уравнения на 9:

$x^2 = \frac{27}{9}$.

$x^2 = 3$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.