Страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.13. 1) $(2 - x)(x - 4) = -8;$

2) $(x - 5)(x - 4) = 20;$

3) $(8 - x)(x - 2) = 10x;$

4) $(1 - x)(9 - x) = -10x.$

1) $(2 - x)(x - 4) = -8$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x - 8 - x^2 + 4x = -8$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 6x - 8 = -8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-x^2 + 6x - 8 + 8 = 0$

$-x^2 + 6x = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от знака минуса перед $x^2$:

$x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 6 = 0$

$x_2 = 6$

Ответ: 0; 6.

2) $(x - 5)(x - 4) = 20$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 4x - 5x + 20 = 20$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 9x + 20 = 20$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 - 9x + 20 - 20 = 0$

$x^2 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 9 = 0$

$x_2 = 9$

Ответ: 0; 9.

3) $(8 - x)(x + 2) = 10x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$8x + 16 - x^2 - 2x = 10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 + 6x + 16 = 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$-x^2 + 6x - 10x + 16 = 0$

$-x^2 - 4x + 16 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 + 4x - 16 = 0$

Решим уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $a=1, b=4, c=-16$.

Найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-2 \pm 2\sqrt{5})}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$

$x_1 = -2 - 2\sqrt{5}$

$x_2 = -2 + 2\sqrt{5}$

Ответ: $-2 - 2\sqrt{5}$; $-2 + 2\sqrt{5}$.

4) $(1 - x)(9 - x) = -10x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$9 - x - 9x + x^2 = -10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 10x + 9 = -10x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 10x + 9 = 0$

$x^2 + 9 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

6.14. 1) $5x^2 + 4 = 0;$

2) $0,81x^2 - 1 = 0;$

3) $1,2x^2 - 1,08 = 0;$

4) $-1,5x^2 + 0,6 = 0;$

5) $-5,2x^2 - 3,4 = 0;$

6) $-7,5x^2 = 0.$

1) Дано уравнение $5x^2 + 4 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член (4) в правую часть уравнения, изменив его знак: $5x^2 = -4$ Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 5: $x^2 = -\\frac{4}{5}$ Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Поскольку в правой части уравнения стоит отрицательное число ($-4/5$), данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

2) Дано уравнение $0.81x^2 - 1 = 0$. Перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения: $0.81x^2 = 1$ Разделим обе части на 0.81: $x^2 = \\frac{1}{0.81}$ Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100: $x^2 = \\frac{100}{81}$ Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a>0$) имеет два корня: $x = \\sqrt{a}$ и $x = -\\sqrt{a}$. $x = \\pm\\sqrt{\\frac{100}{81}}$ $x = \\pm\\frac{\\sqrt{100}}{\\sqrt{81}}$ $x = \\pm\\frac{10}{9}$
Ответ: $\\pm\\frac{10}{9}$.

3) Дано уравнение $1.2x^2 - 1.08 = 0$. Перенесем свободный член (-1.08) в правую часть уравнения: $1.2x^2 = 1.08$ Разделим обе части на 1.2: $x^2 = \\frac{1.08}{1.2}$ $x^2 = \\frac{108}{120}$ Сократим дробь на 12: $x^2 = \\frac{9}{10}$ $x^2 = 0.9$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $x = \\pm\\sqrt{0.9}$
Ответ: $\\pm\\sqrt{0.9}$.

4) Дано уравнение $-1.5x^2 + 0.6 = 0$. Перенесем 0.6 в правую часть уравнения: $-1.5x^2 = -0.6$ Разделим обе части на -1.5: $x^2 = \\frac{-0.6}{-1.5} = \\frac{0.6}{1.5}$ $x^2 = \\frac{6}{15}$ Сократим дробь на 3: $x^2 = \\frac{2}{5}$ $x^2 = 0.4$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $x = \\pm\\sqrt{0.4}$
Ответ: $\\pm\\sqrt{0.4}$.

5) Дано уравнение $-5.2x^2 - 3.4 = 0$. Перенесем -3.4 в правую часть уравнения: $-5.2x^2 = 3.4$ Разделим обе части на -5.2: $x^2 = \\frac{3.4}{-5.2} = -\\frac{34}{52}$ $x^2 = -\\frac{17}{26}$ Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

6) Дано уравнение $-7.5x^2 = 0$. Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 = 0$. Разделим обе части на коэффициент при $x^2$, то есть на -7.5: $x^2 = \\frac{0}{-7.5}$ $x^2 = 0$ Единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам ноль. $x = 0$
Ответ: 0.

6.15. 1) $(x - 2) \cdot (3x - 1) = 2x (x - 4) + 2;$

2) $(3x - 1) \cdot (x - 2) = x - 2x (x - 4);$

3) $(2x - 1)^2 + 4x = 10;$

4) $(3x - 1) \cdot (3x + 1) = 26.$

1)

Дано уравнение $(x - 2) \cdot (3x - 1) = 2x(x - 4) + 2$.

Сначала раскроем скобки в левой и правой частях уравнения.

Левая часть: $(x - 2)(3x - 1) = x \cdot 3x + x \cdot (-1) - 2 \cdot 3x - 2 \cdot (-1) = 3x^2 - x - 6x + 2 = 3x^2 - 7x + 2$.

Правая часть: $2x(x - 4) + 2 = 2x \cdot x - 2x \cdot 4 + 2 = 2x^2 - 8x + 2$.

Теперь приравняем полученные выражения:

$3x^2 - 7x + 2 = 2x^2 - 8x + 2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду:

$3x^2 - 7x + 2 - 2x^2 + 8x - 2 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (-7x + 8x) + (2 - 2) = 0$.

$x^2 + x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x = 0$ или $x + 1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.

2)

Дано уравнение $(3x - 1) \cdot (x - 2) = x - 2x(x - 4)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: $(3x - 1)(x - 2) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = 3x^2 - 6x - x + 2 = 3x^2 - 7x + 2$.

Правая часть: $x - 2x(x - 4) = x - (2x^2 - 8x) = x - 2x^2 + 8x = -2x^2 + 9x$.

Приравняем левую и правую части:

$3x^2 - 7x + 2 = -2x^2 + 9x$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 + 2x^2 - 7x - 9x + 2 = 0$.

$5x^2 - 16x + 2 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант. Коэффициенты: $a = 5, b = -16, c = 2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 256 - 40 = 216$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.

Подставим значения в формулу корней:

$x_{1,2} = \frac{-(-16) \pm 6\sqrt{6}}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm 6\sqrt{6}}{10}$.

Сократим дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$x_{1,2} = \frac{2(8 \pm 3\sqrt{6})}{10} = \frac{8 \pm 3\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $x_1 = \frac{8 + 3\sqrt{6}}{5}, x_2 = \frac{8 - 3\sqrt{6}}{5}$.

3)

Дано уравнение $(2x - 1)^2 + 4x = 10$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 4x = 10$.

$4x^2 - 4x + 1 + 4x = 10$.

Приведем подобные слагаемые в левой части (члены $-4x$ и $+4x$ взаимно уничтожаются):

$4x^2 + 1 = 10$.

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 10 - 1$.

$4x^2 = 9$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{9}{4}$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак "плюс-минус":

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$.

$x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$ и $x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Ответ: $x_1 = 1.5, x_2 = -1.5$.

4)

Дано уравнение $(3x - 1) \cdot (3x + 1) = 26$.

Левая часть уравнения представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$(3x)^2 - 1^2 = 26$.

$9x^2 - 1 = 26$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$9x^2 = 26 + 1$.

$9x^2 = 27$.

Разделим обе части уравнения на 9:

$x^2 = \frac{27}{9}$.

$x^2 = 3$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

6.16. 1) $(2x - 1)^2 = 16;$

2) $(7x - 2)^2 - 4 = 0;$

3) $25 - (5x + 1)^2 = 0;$

4) $1,21 - (2x - 1)^2 = 0.$

1) $(2x - 1)^2 = 16$

Данное уравнение решается извлечением квадратного корня из обеих его частей. Поскольку $\sqrt{16} = \pm 4$, мы получаем два возможных уравнения:

$2x - 1 = 4$ или $2x - 1 = -4$.

Рассмотрим первый случай:

$2x - 1 = 4$

$2x = 4 + 1$

$2x = 5$

$x_1 = 5 / 2 = 2,5$

Рассмотрим второй случай:

$2x - 1 = -4$

$2x = -4 + 1$

$2x = -3$

$x_2 = -3 / 2 = -1,5$

Ответ: $-1,5; 2,5$.

2) $(7x - 2)^2 - 4 = 0$

Сначала перенесем константу в правую часть уравнения:

$(7x - 2)^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. $\sqrt{4} = \pm 2$. Это дает нам два уравнения:

$7x - 2 = 2$ или $7x - 2 = -2$.

Решим первое уравнение:

$7x - 2 = 2$

$7x = 2 + 2$

$7x = 4$

$x_1 = 4/7$

Решим второе уравнение:

$7x - 2 = -2$

$7x = -2 + 2$

$7x = 0$

$x_2 = 0$

Ответ: $0; 4/7$.

3) $25 - (5x + 1)^2 = 0$

Перенесем выражение в скобках в правую часть уравнения:

$25 = (5x + 1)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. $\sqrt{25} = \pm 5$. Получаем два уравнения:

$5x + 1 = 5$ или $5x + 1 = -5$.

Решаем первое уравнение:

$5x + 1 = 5$

$5x = 5 - 1$

$5x = 4$

$x_1 = 4/5 = 0,8$

Решаем второе уравнение:

$5x + 1 = -5$

$5x = -5 - 1$

$5x = -6$

$x_2 = -6/5 = -1,2$

Ответ: $-1,2; 0,8$.

4) $1,21 - (2x - 1)^2 = 0$

Перенесем выражение в скобках в правую часть:

$1,21 = (2x - 1)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Учитывая, что $1,1^2 = 1,21$, получаем $\sqrt{1,21} = \pm 1,1$. Это дает два уравнения:

$2x - 1 = 1,1$ или $2x - 1 = -1,1$.

Решаем первое уравнение:

$2x - 1 = 1,1$

$2x = 1,1 + 1$

$2x = 2,1$

$x_1 = 2,1 / 2 = 1,05$

Решаем второе уравнение:

$2x - 1 = -1,1$

$2x = -1,1 + 1$

$2x = -0,1$

$x_2 = -0,1 / 2 = -0,05$

Ответ: $-0,05; 1,05$.

6.17.

1) $2(2x + 3)^2 = 5(2x + 3);$

2) $7(3x - 2)^2 = 6(3x - 2);$

3) $(2x - 3) = 5(2x - 3)^2;$

4) $7,2(5x - 3) = 5(5x - 3)^2.$

1)

Дано уравнение $2(2x + 3)^2 = 5(2x + 3)$.

Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2(2x + 3)^2 - 5(2x + 3) = 0$.

Вынесем общий множитель $(2x + 3)$ за скобки:

$(2x + 3)(2(2x + 3) - 5) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(2x + 3)(4x + 6 - 5) = 0$.

$(2x + 3)(4x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$2x + 3 = 0$ или $4x + 1 = 0$.

Решаем первое уравнение:

$2x = -3$

$x_1 = -3/2 = -1.5$.

Решаем второе уравнение:

$4x = -1$

$x_2 = -1/4 = -0.25$.

Ответ: $-1.5; -0.25$.

2)

Дано уравнение $7(3x - 2)^2 = 6(3x - 2)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$7(3x - 2)^2 - 6(3x - 2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(3x - 2)$ за скобки:

$(3x - 2)(7(3x - 2) - 6) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(3x - 2)(21x - 14 - 6) = 0$.

$(3x - 2)(21x - 20) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x - 2 = 0$ или $21x - 20 = 0$.

Решаем первое уравнение:

$3x = 2$

$x_1 = 2/3$.

Решаем второе уравнение:

$21x = 20$

$x_2 = 20/21$.

Ответ: $2/3; 20/21$.

3)

Дано уравнение $(2x - 3) = 5(2x - 3)^2$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$5(2x - 3)^2 - (2x - 3) = 0$.

Вынесем общий множитель $(2x - 3)$ за скобки:

$(2x - 3)(5(2x - 3) - 1) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(2x - 3)(10x - 15 - 1) = 0$.

$(2x - 3)(10x - 16) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$2x - 3 = 0$ или $10x - 16 = 0$.

Решаем первое уравнение:

$2x = 3$

$x_1 = 3/2 = 1.5$.

Решаем второе уравнение:

$10x = 16$

$x_2 = 16/10 = 1.6$.

Ответ: $1.5; 1.6$.

4)

Дано уравнение $7.2(5x - 3) = 5(5x - 3)^2$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$5(5x - 3)^2 - 7.2(5x - 3) = 0$.

Вынесем общий множитель $(5x - 3)$ за скобки:

$(5x - 3)(5(5x - 3) - 7.2) = 0$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(5x - 3)(25x - 15 - 7.2) = 0$.

$(5x - 3)(25x - 22.2) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$5x - 3 = 0$ или $25x - 22.2 = 0$.

Решаем первое уравнение:

$5x = 3$

$x_1 = 3/5 = 0.6$.

Решаем второе уравнение:

$25x = 22.2$

$x_2 = 22.2 / 25 = 222 / 250 = 111/125 = 0.888$.

Ответ: $0.6; 0.888$.

6.18. Напишите общий вид квадратного уравнения, у которого:

1) один из корней равен нулю;

2) корни равны по модулю, но противоположны по знаку;

3) оба корня равны нулю.

1) один из корней равен нулю;

Общий вид квадратного уравнения — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Согласно теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Если один из корней равен нулю, например, $x_1 = 0$, то их произведение также будет равно нулю: $0 \cdot x_2 = 0$. Отсюда следует, что $\frac{c}{a} = 0$. Поскольку по определению квадратного уравнения $a \neq 0$, то свободный член $c$ должен быть равен нулю ($c=0$). При этом коэффициент $b$ может быть любым действительным числом. Уравнение принимает вид неполного квадратного уравнения.

Ответ: $ax^2 + bx = 0$, где $a \neq 0$.

2) корни равны по модулю, но противоположны по знаку;

Если корни уравнения $x_1$ и $x_2$ равны по модулю, но противоположны по знаку, это означает, что $x_2 = -x_1$ (при условии, что $x_1 \neq 0$). Сумма таких корней всегда равна нулю: $x_1 + x_2 = x_1 + (-x_1) = 0$. По теореме Виета, сумма корней также равна $-\frac{b}{a}$. Следовательно, мы имеем равенство $-\frac{b}{a} = 0$, из которого, так как $a \neq 0$, следует, что $b=0$. Уравнение приобретает вид $ax^2 + c = 0$. Чтобы такое уравнение имело два действительных ненулевых корня, необходимо, чтобы $x^2 = -\frac{c}{a}$ было положительным числом. Это возможно только если $\frac{c}{a} < 0$, то есть коэффициенты $a$ и $c$ имеют противоположные знаки.

Ответ: $ax^2 + c = 0$, где $a \neq 0$ и $ac < 0$.

3) оба корня равны нулю.

Если оба корня уравнения равны нулю ($x_1 = 0$ и $x_2 = 0$), то и их сумма, и их произведение равны нулю. Применим теорему Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 0 + 0 = 0$. Так как $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, то $-\frac{b}{a} = 0$, откуда $b=0$.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 0 = 0$. Так как $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, то $\frac{c}{a} = 0$, откуда $c=0$.

Таким образом, для выполнения данного условия необходимо, чтобы коэффициенты $b$ и $c$ были равны нулю, а старший коэффициент $a$ по определению был отличен от нуля.

Ответ: $ax^2 = 0$, где $a \neq 0$.

6.19. Найдите число, удвоенный квадрат которого равен этому числу, уменьшенному в четыре раза.

Пусть искомое число — это $x$.

Согласно условию задачи, удвоенный квадрат этого числа ($2x^2$) равен этому же числу, уменьшенному в четыре раза ($\frac{x}{4}$).

Составим и решим уравнение:
$2x^2 = \frac{x}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4 \cdot 2x^2 = x$
$8x^2 = x$

Перенесём все члены уравнения в левую часть:
$8x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(8x - 1) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:
1. $x_1 = 0$
2. $8x - 1 = 0 \implies 8x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{8}$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа: 0 и $\frac{1}{8}$.

Ответ: $0$; $\frac{1}{8}$.

6.20. Найдите два последовательных числа, если их произведение в три раза больше меньшего из них.

Пусть меньшее из искомых последовательных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним число будет $n+1$.

Произведение этих двух чисел равно $n \times (n+1)$.

Согласно условию, их произведение в три раза больше меньшего из них. Составим уравнение на основе этого условия:

$n(n+1) = 3n$

Для решения уравнения перенесём все его члены в левую часть:

$n(n+1) - 3n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n((n+1) - 3) = 0$

$n(n - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $n$:

1) $n = 0$

2) $n - 2 = 0 \implies n = 2$

Таким образом, мы нашли два возможных значения для меньшего числа. Теперь найдём соответствующие пары чисел:

- Если меньшее число $n=0$, то следующее число $n+1 = 0+1=1$. Получаем пару чисел: 0 и 1.
Проверим: произведение $0 \times 1 = 0$. Меньшее число 0. $3 \times 0 = 0$. Условие $0=0$ выполняется.

- Если меньшее число $n=2$, то следующее число $n+1 = 2+1=3$. Получаем пару чисел: 2 и 3.
Проверим: произведение $2 \times 3 = 6$. Меньшее число 2. $3 \times 2 = 6$. Условие $6=6$ выполняется.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 0 и 1; 2 и 3.

6.21. Составьте квадратное уравнение, если:

1) один его корень равен нулю, второй равен 5;

2) один его корень равен 7, второй равен (-7);

3) один его корень равен $\sqrt{13}$, второй равен $(-\sqrt{13})$.

1) Чтобы составить квадратное уравнение, зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно использовать формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. В данном случае, корни уравнения $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x - 0)(x - 5) = 0$
Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:
$x(x - 5) = 0$
$x^2 - 5x = 0$
Это и есть искомое квадратное уравнение.
Также можно было воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 0 + 5 = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 5 = 0$.
Следовательно, $-p = 5$, значит $p = -5$, а $q = 0$.
Уравнение имеет вид: $x^2 - 5x + 0 = 0$, или $x^2 - 5x = 0$.
Ответ: $x^2 - 5x = 0$

2) В этом случае корни уравнения $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Воспользуемся формулой $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Подставим значения корней:
$(x - 7)(x - (-7)) = 0$
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Слева мы видим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее:
$x^2 - 7^2 = 0$
$x^2 - 49 = 0$
Это искомое квадратное уравнение.
Проверка по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 7 + (-7) = 0$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot (-7) = -49$.
Значит $p = 0$, $q = -49$. Уравнение: $x^2 + 0x - 49 = 0$, или $x^2 - 49 = 0$.
Ответ: $x^2 - 49 = 0$

3) Корни уравнения $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Снова используем формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.
Подставляем значения корней:
$(x - \sqrt{13})(x - (-\sqrt{13})) = 0$
$(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13}) = 0$
Применяем формулу разности квадратов:
$x^2 - (\sqrt{13})^2 = 0$
$x^2 - 13 = 0$
Это искомое квадратное уравнение.
Проверка по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{13} + (-\sqrt{13}) = 0$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{13} \cdot (-\sqrt{13}) = -13$.
Значит $p = 0$, $q = -13$. Уравнение: $x^2 + 0x - 13 = 0$, или $x^2 - 13 = 0$.
Ответ: $x^2 - 13 = 0$

6.22. При каких значениях параметра a только один из корней уравнения равен нулю:

1) $5x^2 - 2x + a - 3 = 0;$

2) $-7x^2 + 2x + 3a - 3.9 = 0;$

3) $-x^2 + 4.6x + a^2 - 36 = 0;$

4) $x^2 - 23x + |a| - 4 = 0?$

Чтобы у квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ был ровно один корень, равный нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Корень $x=0$ должен удовлетворять уравнению. Подставив $x=0$ в уравнение, получаем: $A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C = 0$, что приводит к условию $C=0$. Таким образом, свободный член уравнения должен быть равен нулю.

2. Второй корень уравнения не должен быть равен нулю. Если $C=0$, уравнение принимает вид $Ax^2 + Bx = 0$, или $x(Ax + B) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -B/A$. Чтобы второй корень $x_2$ не был равен нулю, необходимо, чтобы $-B/A \neq 0$, что равносильно условию $B \neq 0$ (поскольку для квадратного уравнения $A \neq 0$).

Итак, для каждого уравнения мы должны приравнять к нулю его свободный член (выражение, не содержащее $x$) и убедиться, что коэффициент при $x$ не равен нулю.

1) $5x^2 - 2x + a - 3 = 0$

В данном уравнении свободный член $C = a - 3$, а коэффициент при $x$ это $B = -2$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $-2 \neq 0$.

Теперь найдем значение $a$, при котором свободный член равен нулю:

$a - 3 = 0$

$a = 3$

При $a=3$ уравнение становится $5x^2 - 2x = 0$, или $x(5x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/5$. Таким образом, только один корень равен нулю.

Ответ: $a = 3$.

2) $-7x^2 + 2x + 3a - 3,9 = 0$

Свободный член $C = 3a - 3,9$, коэффициент при $x$ это $B = 2$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $2 \neq 0$.

Приравняем свободный член к нулю:

$3a - 3,9 = 0$

$3a = 3,9$

$a = 1,3$

При $a=1,3$ уравнение становится $-7x^2 + 2x = 0$, или $x(-7x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/7$. Только один корень равен нулю.

Ответ: $a = 1,3$.

3) $-x^2 + 4,6x + a^2 - 36 = 0$

Свободный член $C = a^2 - 36$, коэффициент при $x$ это $B = 4,6$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $4,6 \neq 0$.

Приравняем свободный член к нулю:

$a^2 - 36 = 0$

$a^2 = 36$

$a_1 = 6, a_2 = -6$

При $a = 6$ или $a = -6$ уравнение становится $-x^2 + 4,6x = 0$, или $x(-x + 4,6) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4,6$. Только один корень равен нулю.

Ответ: $a = \pm 6$.

4) $x^2 - 23x + |a| - 4 = 0$

Свободный член $C = |a| - 4$, коэффициент при $x$ это $B = -23$.

Условие $B \neq 0$ выполняется, так как $-23 \neq 0$.

Приравняем свободный член к нулю:

$|a| - 4 = 0$

$|a| = 4$

$a_1 = 4, a_2 = -4$

При $a = 4$ или $a = -4$ уравнение становится $x^2 - 23x = 0$, или $x(x - 23) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 23$. Только один корень равен нулю.

Ответ: $a = \pm 4$.

6.23. При каких значениях параметра с уравнение является неполным квадратным:

1) $6x^2 + (c^2 - 4)x + 18 = 0;$

2) $3x^2 - (2c^2 + 4c)x - 24 = 0;$

3) $(c - 2)x^2 + 2(c^2 - 4)x + 8 = 0;$

4) $(c + 3)x^2 + 2(c^2 + 3c)x - 18 = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + k = 0$ является неполным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$), а хотя бы один из других коэффициентов (коэффициент при $x$ или свободный член) равен нулю (то есть $b=0$ или $k=0$).

1) Дано уравнение $6x^2 + (c^2 - 4)x + 18 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: старший коэффициент $a=6$, коэффициент при $x$ равен $b = c^2 - 4$, свободный член $k = 18$.

Поскольку $a=6 \neq 0$ и $k=18 \neq 0$, уравнение будет неполным квадратным только в том случае, если коэффициент при $x$ будет равен нулю.

Приравняем коэффициент $b$ к нулю:

$c^2 - 4 = 0$

$c^2 = 4$

$c = \pm\sqrt{4}$

$c_1 = 2, c_2 = -2$

При этих значениях $c$ уравнение становится неполным квадратным.

Ответ: $c = -2$ или $c = 2$.

2) Дано уравнение $3x^2 - (2c^2 + 4c)x - 24 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=3$, $b = -(2c^2 + 4c)$, $k = -24$.

Поскольку $a=3 \neq 0$ и $k=-24 \neq 0$, уравнение будет неполным квадратным, если коэффициент $b$ будет равен нулю.

$-(2c^2 + 4c) = 0$

$2c^2 + 4c = 0$

$2c(c + 2) = 0$

Это равенство выполняется при $c=0$ или при $c+2=0$.

$c_1 = 0, c_2 = -2$

При этих значениях $c$ уравнение является неполным квадратным.

Ответ: $c = -2$ или $c = 0$.

3) Дано уравнение $(c - 2)x^2 + 2(c^2 - 4)x + 8 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = c - 2$, $b = 2(c^2 - 4)$, $k = 8$.

Во-первых, чтобы уравнение было квадратным, старший коэффициент не должен быть равен нулю:

$a = c - 2 \neq 0 \implies c \neq 2$.

Во-вторых, поскольку $k=8 \neq 0$, для того чтобы уравнение было неполным, коэффициент $b$ должен быть равен нулю.

$b = 2(c^2 - 4) = 0$

$c^2 - 4 = 0$

$c^2 = 4$

$c_1 = 2, c_2 = -2$

Теперь нужно учесть условие $c \neq 2$. Значение $c=2$ не подходит, так как при нем старший коэффициент обращается в ноль, и уравнение перестает быть квадратным. При $c=2$ уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 8 = 0$, то есть $8=0$, что неверно.

Значение $c=-2$ удовлетворяет условию $c \neq 2$. При $c=-2$ уравнение принимает вид $(-2-2)x^2 + 0 \cdot x + 8 = 0$, то есть $-4x^2 + 8 = 0$, что является неполным квадратным уравнением.

Ответ: $c = -2$.

4) Дано уравнение $(c + 3)x^2 + 2(c^2 + 3c)x - 18 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a = c + 3$, $b = 2(c^2 + 3c)$, $k = -18$.

Уравнение является квадратным, если $a \neq 0$:

$a = c + 3 \neq 0 \implies c \neq -3$.

Так как $k=-18 \neq 0$, уравнение будет неполным, если $b=0$.

$b = 2(c^2 + 3c) = 0$

$c^2 + 3c = 0$

$c(c + 3) = 0$

$c_1 = 0, c_2 = -3$

Проверим найденные значения с учетом условия $c \neq -3$.

Значение $c=-3$ не подходит, так как при нем старший коэффициент равен нулю. Уравнение становится линейным (или неверным равенством): $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 18 = 0$, то есть $-18=0$.

Значение $c=0$ удовлетворяет условию $c \neq -3$. При $c=0$ уравнение принимает вид $(0+3)x^2 + 0 \cdot x - 18 = 0$, то есть $3x^2 - 18 = 0$, что является неполным квадратным уравнением.

Ответ: $c = 0$.