Страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2. Может ли квадратное уравнение иметь три корня?

1. Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Существует три возможных случая, которые можно наглядно представить в виде пересечения параболы (графика функции $y=ax^2+bx+c$) с осью абсцисс (Ox):

1. Два различных корня.
Если дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Они находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Графически это означает, что парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Пример: для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$, дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = 2$.

2. Один корень (два совпадающих).
Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Этот корень находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$. Графически это означает, что вершина параболы касается оси Ox в одной точке.
Пример: для уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$, дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 3$.

3. Нет действительных корней.
Если дискриминант меньше нуля ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. В поле действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Графически это означает, что парабола не пересекает и не касается оси Ox.
Пример: для уравнения $x^2 + 2x + 5 = 0$, дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Квадратное уравнение может иметь ноль, один или два действительных корня.

2. Нет, квадратное уравнение не может иметь три корня. Это следует из основной теоремы алгебры, а также может быть доказано более простым способом.

Обоснование:

1. С точки зрения основной теоремы алгебры. Эта теорема утверждает, что любой многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ корней (с учетом их кратности и комплексных корней). Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) является многочленом второй степени ($n=2$). Следовательно, оно может иметь не более двух корней.

2. Доказательство от противного. Предположим, что у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ есть три различных корня: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни, то квадратный трехчлен можно разложить на множители: $a(x-x_1)(x-x_2)$. Поскольку $x_3$ тоже является корнем, при подстановке его в уравнение мы должны получить ноль:
$a(x_3-x_1)(x_3-x_2) = 0$

По определению квадратного уравнения, коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Значит, чтобы произведение было равно нулю, один из множителей в скобках должен быть равен нулю: либо $x_3 - x_1 = 0$, либо $x_3 - x_2 = 0$. Отсюда следует, что $x_3 = x_1$ или $x_3 = x_2$. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что все три корня различны. Следовательно, квадратное уравнение не может иметь три различных корня.

Примечание: уравнение вида $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$ имеет бесконечно много решений (любое число является корнем), но оно не является квадратным, так как старший коэффициент $a=0$.

Ответ: Нет, квадратное уравнение не может иметь три корня.

6.1. Является ли квадратным уравнение:

1) $2,8x^2 - 3x + 8 = 0;$

2) $2x^3 - 3x + 8 = 0;$

3) $-8x^2 - 3x + 5 = 0;$

4) $-3x - 9,8 = 0;$

5) $-2x^2 - 3x^3 + 8x = 0;$

6) $-7,8x^2 - 6 = 0?$

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, причем коэффициент $a$ при старшей степени не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Это означает, что наивысшая степень переменной в уравнении должна быть равна 2.

1) Уравнение $2,8x^2 - 3x + 8 = 0$.
Данное уравнение соответствует общему виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Здесь коэффициенты равны: $a = 2,8$, $b = -3$, $c = 8$. Коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 0$). Наибольшая степень переменной $x$ равна 2. Следовательно, это уравнение является квадратным.
Ответ: да.

2) Уравнение $2x^3 - 3x + 8 = 0$.
В этом уравнении присутствует член $2x^3$, поэтому наивысшая степень переменной $x$ равна 3. Уравнения, в которых наивысшая степень переменной равна 3, называются кубическими, а не квадратными.
Ответ: нет.

3) Уравнение $-8x^2 - 3x + 5 = 0$.
Это уравнение также соответствует общему виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты: $a = -8$, $b = -3$, $c = 5$. Так как старший коэффициент $a = -8 \neq 0$ и наибольшая степень переменной равна 2, это уравнение является квадратным.
Ответ: да.

4) Уравнение $-3x - 9,8 = 0$.
В данном уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 1. Член с $x^2$ отсутствует, что эквивалентно тому, что коэффициент $a=0$. Уравнения, где наивысшая степень переменной равна 1, являются линейными.
Ответ: нет.

5) Уравнение $-2x^2 - 3x^3 + 8x = 0$.
В этом уравнении присутствует член $-3x^3$, поэтому наивысшая степень переменной $x$ равна 3. Это кубическое уравнение, а не квадратное.
Ответ: нет.

6) Уравнение $-7,8x^2 - 6 = 0$.
Это уравнение можно записать в общем виде $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = -7,8$, $b = 0$, $c = -6$. Коэффициент $a = -7,8 \neq 0$, и наивысшая степень переменной равна 2. Такое уравнение является неполным квадратным уравнением, но всё равно относится к классу квадратных уравнений.
Ответ: да.

6.2. Укажите коэффициенты квадратного уравнения:

1) $1,7x^2 - x + 1,8 = 0;$

2) $2x^2 - 3x - 1 = 0;$

3) $-3x^2 + 5,2 = 0;$

4) $-x^2 = 0;$

5) $-5x^2 - 3x + 2 = 0;$

6) $-0,8x^2 - 9x = 0.$

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Коэффициент $a$ — это множитель при $x^2$ (первый или старший коэффициент).

Коэффициент $b$ — это множитель при $x$ (второй коэффициент).

Коэффициент $c$ — это свободный член (константа).

1) В уравнении $1,7x^2 - x + 1,8 = 0$:

Старший коэффициент (множитель при $x^2$) равен $1,7$.

Второй коэффициент (множитель при $x$) равен $-1$, так как $-x$ это то же самое, что и $-1 \cdot x$.

Свободный член равен $1,8$.

Ответ: $a = 1,7$; $b = -1$; $c = 1,8$.

2) В уравнении $2x^2 - 3x - 1 = 0$:

Старший коэффициент $a$ равен $2$.

Второй коэффициент $b$ равен $-3$.

Свободный член $c$ равен $-1$.

Ответ: $a = 2$; $b = -3$; $c = -1$.

3) В уравнении $-3x^2 + 5,2 = 0$:

Старший коэффициент $a$ равен $-3$.

В уравнении отсутствует слагаемое с $x$ в первой степени, это означает, что второй коэффициент $b$ равен $0$.

Свободный член $c$ равен $5,2$.

Ответ: $a = -3$; $b = 0$; $c = 5,2$.

4) В уравнении $-x^2 = 0$:

Старший коэффициент $a$ равен $-1$, так как $-x^2$ это то же самое, что и $-1 \cdot x^2$.

В уравнении отсутствуют слагаемое с $x$ и свободный член, это означает, что их коэффициенты равны нулю.

Следовательно, $b = 0$ и $c = 0$.

Ответ: $a = -1$; $b = 0$; $c = 0$.

5) В уравнении $-5x^2 - 3x + 2 = 0$:

Старший коэффициент $a$ равен $-5$.

Второй коэффициент $b$ равен $-3$.

Свободный член $c$ равен $2$.

Ответ: $a = -5$; $b = -3$; $c = 2$.

6) В уравнении $-0,8x^2 - 9x = 0$:

Старший коэффициент $a$ равен $-0,8$.

Второй коэффициент $b$ равен $-9$.

В уравнении отсутствует свободный член, это означает, что коэффициент $c$ равен $0$.

Ответ: $a = -0,8$; $b = -9$; $c = 0$.