Страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.10*.Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} - 2\sqrt{2};$

2) $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + 2,5;$

3) $2\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} - 3\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} - 2;$

4) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} - \frac{3}{2-\sqrt{3}} + 2\sqrt{27}.$

1) $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} - 2\sqrt{2}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Наша цель — представить подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Рассмотрим выражение $11 + 6\sqrt{2}$. Мы хотим найти такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 11$ и $2ab = 6\sqrt{2}$. Из второго уравнения получаем $ab = 3\sqrt{2}$. Подбором находим, что $a=3$ и $b=\sqrt{2}$ удовлетворяют обоим условиям: $3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$.

Таким образом, $11 + 6\sqrt{2} = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3 + \sqrt{2})^2$.

Следовательно, $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2}$.

Аналогично для выражения $11 - 6\sqrt{2}$: $11 - 6\sqrt{2} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (3 - \sqrt{2})^2$.

Следовательно, $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}|$. Поскольку $3 > \sqrt{2}$, выражение $3 - \sqrt{2}$ положительно, и модуль равен самому выражению: $3 - \sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(3 + \sqrt{2}) - (3 - \sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3-3) + (\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + 2,5$

Действуем аналогично первому пункту. Представим подкоренные выражения в виде полных квадратов.

Для $9 + 4\sqrt{2}$: ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 9$ и $2ab = 4\sqrt{2}$, откуда $ab = 2\sqrt{2}$. Попробуем $a=2\sqrt{2}$ и $b=1$. Проверяем: $(2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 8 + 1 = 9$. Условия выполняются.

Значит, $9 + 4\sqrt{2} = (2\sqrt{2} + 1)^2$.

Тогда $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2} = |2\sqrt{2} + 1| = 2\sqrt{2} + 1$.

Для $9 - 4\sqrt{2}$: $9 - 4\sqrt{2} = (2\sqrt{2} - 1)^2$.

Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} - 1)^2} = |2\sqrt{2} - 1|$. Поскольку $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ и $1 = \sqrt{1}$, то $2\sqrt{2} > 1$, значит выражение $2\sqrt{2} - 1$ положительно, и модуль равен $2\sqrt{2} - 1$.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{2} + 1) - (2\sqrt{2} - 1) + 2,5 = 2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} + 1 + 2,5 = (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (1 + 1 + 2,5) = 0 + 4,5 = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

3) $2\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} - 3\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} - 2$

Упростим выражения под корнями.

Для $19 - 8\sqrt{3}$: ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 19$ и $2ab = 8\sqrt{3}$, откуда $ab = 4\sqrt{3}$. Попробуем $a=4$ и $b=\sqrt{3}$. Проверяем: $4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$. Условия выполняются.

Значит, $19 - 8\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = |4 - \sqrt{3}|$. Так как $4 > \sqrt{3}$, выражение $4 - \sqrt{3}$ положительно, и модуль равен $4 - \sqrt{3}$.

Для $19 + 8\sqrt{3}$: $19 + 8\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} = |4 + \sqrt{3}| = 4 + \sqrt{3}$.

Подставляем упрощенные значения в исходное выражение:

$2(4 - \sqrt{3}) - 3(4 + \sqrt{3}) - 2 = (8 - 2\sqrt{3}) - (12 + 3\sqrt{3}) - 2 = 8 - 2\sqrt{3} - 12 - 3\sqrt{3} - 2$.

Сгруппируем слагаемые: $(8 - 12 - 2) + (-2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = -6 - 5\sqrt{3}$.

Ответ: $-6 - 5\sqrt{3}$.

4) $\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} - \frac{3}{2-\sqrt{3}} + 2\sqrt{27}$

Решим задачу по частям, упрощая каждое слагаемое.

1. Упростим $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$, т.е. $ab=2\sqrt{3}$. Подходят $a=2$ и $b=\sqrt{3}$: $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Следовательно, $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$, и $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.

2. Упростим $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Аналогично, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}|$. Так как $2 > \sqrt{3}$, то $2-\sqrt{3} > 0$, и модуль равен $2-\sqrt{3}$.

3. Упростим дробь $\frac{3}{2-\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2+\sqrt{3}$:

$\frac{3}{2-\sqrt{3}} = \frac{3(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{6+3\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6+3\sqrt{3}}{4-3} = 6+3\sqrt{3}$.

4. Упростим $2\sqrt{27}$.

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

5. Подставим все упрощенные части в исходное выражение:

$(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) - (6+3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} = 2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - 6-3\sqrt{3} + 6\sqrt{3}$.

Сгруппируем и вычислим: $(2+2-6) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}) = -2 + 3\sqrt{3}$.

Ответ: $-2 + 3\sqrt{3}$.

5.11. Преобразуйте выражение:

1) $\frac{a\sqrt{a} - c\sqrt{c}}{a + \sqrt{ac} + c} + \sqrt{c}$

2) $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + 3\sqrt{xy}$

3) $\frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

1)

Рассмотрим выражение $ \frac{a\sqrt{a} - c\sqrt{c}}{a + \sqrt{ac} + c} + \sqrt{c} $.

Преобразуем числитель первой дроби, представив его как разность кубов. Учитывая, что $ a = (\sqrt{a})^2 $ и $ c = (\sqrt{c})^2 $, мы можем записать $ a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3 $ и $ c\sqrt{c} = (\sqrt{c})^3 $. Таким образом, числитель принимает вид $ (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{c})^3 $.

Воспользуемся формулой разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $.

Для наших переменных $ x = \sqrt{a} $ и $ y = \sqrt{c} $ формула выглядит так:
$ (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{c})^3 = (\sqrt{a} - \sqrt{c})((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2) = (\sqrt{a} - \sqrt{c})(a + \sqrt{ac} + c) $.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{c})(a + \sqrt{ac} + c)}{a + \sqrt{ac} + c} + \sqrt{c} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a + \sqrt{ac} + c) $ (который не равен нулю при допустимых значениях $ a \ge 0, c \ge 0 $, за исключением случая $a=c=0$):

$ (\sqrt{a} - \sqrt{c}) + \sqrt{c} $

Приведем подобные члены:

$ \sqrt{a} - \sqrt{c} + \sqrt{c} = \sqrt{a} $

Ответ: $ \sqrt{a} $

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + 3\sqrt{xy} $.

Числитель первой дроби $ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} $ можно представить в виде суммы кубов: $ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 $.

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.

Положив $ a = \sqrt{x} $ и $ b = \sqrt{y} $, получим:
$ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y) $.

Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + 3\sqrt{xy} $

Сократим дробь на $ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $ (при $ x \ge 0, y \ge 0 $ и не одновременно равных нулю):

$ (x - \sqrt{xy} + y) + 3\sqrt{xy} $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ x + y - \sqrt{xy} + 3\sqrt{xy} = x + 2\sqrt{xy} + y $

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$ x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $.

Ответ: $ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $

3)

Рассмотрим выражение $ \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $.

Преобразуем первую дробь. Ее числитель $ x - 2\sqrt{x} + 1 $ является полным квадратом разности: $ (\sqrt{x} - 1)^2 $.

Знаменатель $ x - 1 $ можно разложить как разность квадратов: $ (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) $.

Таким образом, первая дробь равна:

$ \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $

Сократим эту дробь на $ (\sqrt{x} - 1) $, при условии, что $ x \neq 1 $:

$ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} $

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $

Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$ \frac{(\sqrt{x} - 1) + (1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + 1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $

Упростим числитель:

$ \frac{0}{\sqrt{x} + 1} = 0 $

Ответ: $ 0 $

5.12. По заданной диаграмме (рис. 10) расходов семьи из 4-х человек в месяц найдите:

1) Какая сумма в тенге тратится на одного члена семьи на молочные продукты в месяц?

2) Какой процент составляют затраты семьи на молочные продукты от общих затрат на питание?

Расходы семьи на отдельные продукты питания в месяц

Молоко: 4500

Сметана: 1800

Кефир: 900

Творог: 1200

Чай: 600

Конфеты: 1600

Печенье: 1200

Яйца: 3200

Хлебобулочные изделия: 1200

Рис. 10

1) Какая сумма в тенге тратится на одного члена семьи на молочные продукты в месяц?
Для начала найдем общую сумму расходов семьи на молочные продукты. Согласно диаграмме, к молочным продуктам относятся молоко, сметана, кефир и творог. Сложим расходы на эти продукты:
Сумма = (расходы на молоко) + (расходы на сметану) + (расходы на кефир) + (расходы на творог)
$4500 + 1800 + 900 + 1200 = 8400$ тенге.
В условии сказано, что семья состоит из 4-х человек. Чтобы найти, какая сумма тратится на одного члена семьи, разделим общие расходы на молочные продукты на количество человек в семье:
$8400 \text{ тенге} \div 4 \text{ человека} = 2100$ тенге на человека.
Ответ: 2100 тенге.

2) Какой процент составляют затраты семьи на молочные продукты от общих затрат на питание?
Сначала вычислим общие затраты семьи на питание в месяц, сложив расходы на все продукты, указанные на диаграмме:
Общие затраты = $4500 + 1800 + 900 + 1200 + 600 + 1600 + 1200 + 3200 + 1200 = 16200$ тенге.
Затраты на молочные продукты, как мы выяснили в первом пункте, составляют $8400$ тенге.
Теперь найдем, какой процент составляют затраты на молочные продукты от общих затрат на питание. Для этого используем формулу:
Процент = $(\frac{\text{Затраты на молочные продукты}}{\text{Общие затраты на питание}}) \times 100\%$
Процент = $(\frac{8400}{16200}) \times 100\% = (\frac{84}{162}) \times 100\% = (\frac{14}{27}) \times 100\% \approx 0,5185 \times 100\% \approx 51,85\%$.
Округлим результат до одного знака после запятой: $51,9\%$.
Ответ: ≈51,9 %.