Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.21. Докажите тождество:

1) $\frac{3x - 1}{\sqrt{3x - 1}} - \sqrt{3x} = 1$;

2) $\frac{3x + a}{\sqrt{5x} - \sqrt{a}} + \sqrt{5x} + \sqrt{a} = \frac{8x}{\sqrt{5x} - \sqrt{a}}$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($3x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{3x}-1 \ne 0$). Отсюда получаем, что $x \ge 0$ и $x \ne 1/3$.

Представим числитель дроби $3x-1$ в виде разности квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$3x-1 = (\sqrt{3x})^2 - 1^2 = (\sqrt{3x}-1)(\sqrt{3x}+1)$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{3x-1}{\sqrt{3x}-1} - \sqrt{3x} = \frac{(\sqrt{3x}-1)(\sqrt{3x}+1)}{\sqrt{3x}-1} - \sqrt{3x}$

Так как в области допустимых значений выражение $(\sqrt{3x}-1)$ не равно нулю, мы можем сократить на него дробь:

$(\sqrt{3x}+1) - \sqrt{3x}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{3x} + 1 - \sqrt{3x} = 1$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна 1, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть, приведя все слагаемые к общему знаменателю. ОДЗ определяется условиями: $5x \ge 0$, $a \ge 0$ и $\sqrt{5x}-\sqrt{a} \ne 0$. Это означает, что $x \ge 0$, $a \ge 0$ и $5x \ne a$.

Приведем слагаемые $(\sqrt{5x} + \sqrt{a})$ к общему знаменателю $\sqrt{5x}-\sqrt{a}$:

$\sqrt{5x} + \sqrt{a} = \frac{(\sqrt{5x} + \sqrt{a})(\sqrt{5x}-\sqrt{a})}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

В числителе полученной дроби применим формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2-d^2$:

$\frac{(\sqrt{5x})^2 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{5x-a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:

$\frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} + (\sqrt{5x} + \sqrt{a}) = \frac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} + \frac{5x-a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(3x+a) + (5x-a)}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{3x+a+5x-a}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}} = \frac{8x}{\sqrt{5x}-\sqrt{a}}$

Полученное выражение в левой части полностью совпадает с выражением в правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4.22. Найдите наибольшее целое число, меньшее числа:

1) $ \sqrt{17} $;

2) $ \sqrt{67} $;

3) $ \sqrt{61,5} $;

4) $ \sqrt{152,7} $;

5) $ -\sqrt{7} $;

6) $ -\sqrt{26} $;

7) $ 2\sqrt{61} $;

8) $ \sqrt{626} - 4. $

1) Чтобы найти наибольшее целое число, меньшее числа $\sqrt{17}$, нужно определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt{17}$. Для этого найдем квадраты целых чисел, близкие к 17. Мы знаем, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Так как $16 < 17 < 25$, то, извлекая квадратный корень, получаем $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, что равносильно $4 < \sqrt{17} < 5$. Это означает, что число $\sqrt{17}$ находится на числовой прямой между 4 и 5. Наибольшее целое число, которое меньше, чем число, находящееся между 4 и 5, — это 4. Ответ: 4

2) Чтобы найти наибольшее целое число, меньшее числа $\sqrt{67}$, найдем два последовательных целых числа, между которыми оно расположено. Рассмотрим квадраты целых чисел: $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$. Поскольку $64 < 67 < 81$, то $\sqrt{64} < \sqrt{67} < \sqrt{81}$, или $8 < \sqrt{67} < 9$. Число $\sqrt{67}$ лежит в интервале от 8 до 9. Следовательно, наибольшее целое число, меньшее $\sqrt{67}$, равно 8. Ответ: 8

3) Найдем наибольшее целое число, меньшее числа $\sqrt{61,5}$. Для этого оценим значение корня. Рассмотрим квадраты ближайших целых чисел: $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$. Так как $49 < 61,5 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{61,5} < \sqrt{64}$, что означает $7 < \sqrt{61,5} < 8$. Таким образом, наибольшее целое число, меньшее $\sqrt{61,5}$, это 7. Ответ: 7

4) Найдем наибольшее целое число, меньшее числа $\sqrt{152,7}$. Оценим значение корня, найдя ближайшие к 152,7 полные квадраты. $12^2 = 144$ и $13^2 = 169$. Из неравенства $144 < 152,7 < 169$ следует, что $\sqrt{144} < \sqrt{152,7} < \sqrt{169}$, то есть $12 < \sqrt{152,7} < 13$. Наибольшим целым числом, которое меньше $\sqrt{152,7}$, является 12. Ответ: 12

5) Чтобы найти наибольшее целое число, меньшее числа $-\sqrt{7}$, сначала оценим $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Значит, $4 < 7 < 9$, и, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$. Умножив все части этого неравенства на -1, мы должны изменить знаки неравенства на противоположные: $-3 < -\sqrt{7} < -2$. Это показывает, что число $-\sqrt{7}$ находится между -3 и -2. Самое большое целое число, которое меньше числа, лежащего в этом интервале, — это -3. Ответ: -3

6) Найдем наибольшее целое число, меньшее числа $-\sqrt{26}$. Сначала оценим $\sqrt{26}$. Так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $25 < 26 < 36$. Извлекая корень, получаем $5 < \sqrt{26} < 6$. Умножим неравенство на -1 и сменим знаки: $-6 < -\sqrt{26} < -5$. Число $-\sqrt{26}$ находится между -6 и -5. Наибольшее целое число, меньшее $-\sqrt{26}$, — это -6. Ответ: -6

7) Найдем наибольшее целое число, меньшее числа $2\sqrt{61}$. Чтобы упростить сравнение, внесем множитель 2 под знак корня: $2\sqrt{61} = \sqrt{2^2 \cdot 61} = \sqrt{4 \cdot 61} = \sqrt{244}$. Теперь оценим $\sqrt{244}$. Ближайшие полные квадраты: $15^2 = 225$ и $16^2 = 256$. Из неравенства $225 < 244 < 256$ следует, что $\sqrt{225} < \sqrt{244} < \sqrt{256}$, то есть $15 < \sqrt{244} < 16$. Таким образом, $15 < 2\sqrt{61} < 16$. Наибольшее целое число, меньшее $2\sqrt{61}$, — это 15. Ответ: 15

8) Найдем наибольшее целое число, меньшее числа $\sqrt{626} - 4$. Сначала оценим $\sqrt{626}$. Мы знаем, что $25^2 = 625$ и $26^2 = 676$. Так как $625 < 626 < 676$, то $25 < \sqrt{626} < 26$. Теперь вычтем 4 из всех частей этого двойного неравенства: $25 - 4 < \sqrt{626} - 4 < 26 - 4$. Это дает нам $21 < \sqrt{626} - 4 < 22$. Число $\sqrt{626} - 4$ находится между 21 и 22. Наибольшее целое число, меньшее этого числа, равно 21. Ответ: 21

4.23. Найдите наименьшее целое число, большее числа:

1) $\sqrt{114}$;

2) $\sqrt{657}$;

3) $\sqrt{67,7}$;

4) $\sqrt{1647}$;

5) $-\sqrt{17}$;

6) $-\sqrt{27}$;

7) $2\sqrt{63}$;

8) $\sqrt{62,6} - 4$.

1) Чтобы найти наименьшее целое число, большее $\sqrt{114}$, оценим значение $\sqrt{114}$. Найдем два ближайших к 114 числа, которые являются полными квадратами. Это 100 и 121.
Имеем $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$.
Так как $100 < 114 < 121$, то $\sqrt{100} < \sqrt{114} < \sqrt{121}$.
Следовательно, $10 < \sqrt{114} < 11$.
Число $\sqrt{114}$ находится между 10 и 11. Наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{114}$, это 11.
Ответ: 11.

2) Оценим значение $\sqrt{657}$. Найдем квадраты целых чисел, близких к 657.
$25^2 = 625$.
$26^2 = 676$.
Поскольку $625 < 657 < 676$, то $\sqrt{625} < \sqrt{657} < \sqrt{676}$.
Отсюда следует, что $25 < \sqrt{657} < 26$.
Наименьшее целое число, большее $\sqrt{657}$, равно 26.
Ответ: 26.

3) Оценим значение $\sqrt{67,7}$. Найдем два ближайших к 67,7 числа, являющихся полными квадратами.
$8^2 = 64$.
$9^2 = 81$.
Так как $64 < 67,7 < 81$, то $\sqrt{64} < \sqrt{67,7} < \sqrt{81}$.
Значит, $8 < \sqrt{67,7} < 9$.
Наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{67,7}$, это 9.
Ответ: 9.

4) Оценим значение $\sqrt{1647}$. Найдем квадраты целых чисел, близких к 1647.
$40^2 = 1600$.
$41^2 = 1681$.
Поскольку $1600 < 1647 < 1681$, то $\sqrt{1600} < \sqrt{1647} < \sqrt{1681}$.
Следовательно, $40 < \sqrt{1647} < 41$.
Наименьшее целое число, большее $\sqrt{1647}$, это 41.
Ответ: 41.

5) Сначала оценим $\sqrt{17}$.
$4^2 = 16$.
$5^2 = 25$.
Так как $16 < 17 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, что означает $4 < \sqrt{17} < 5$.
Теперь умножим неравенство на -1. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:
$-5 < -\sqrt{17} < -4$.
Число $-\sqrt{17}$ находится на числовой оси между -5 и -4. Наименьшее целое число, которое больше $-\sqrt{17}$, это -4.
Ответ: -4.

6) Оценим сначала положительное значение $\sqrt{27}$.
$5^2 = 25$.
$6^2 = 36$.
Из неравенства $25 < 27 < 36$ следует, что $\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{36}$, то есть $5 < \sqrt{27} < 6$.
Умножим все части двойного неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-6 < -\sqrt{27} < -5$.
Таким образом, число $-\sqrt{27}$ расположено между -6 и -5. Наименьшее целое число, большее $-\sqrt{27}$, это -5.
Ответ: -5.

7) Чтобы оценить число $2\sqrt{63}$, внесем множитель 2 под знак корня. Для этого возведем его в квадрат:
$2\sqrt{63} = \sqrt{2^2 \cdot 63} = \sqrt{4 \cdot 63} = \sqrt{252}$.
Теперь найдем два последовательных целых числа, между которыми находится $\sqrt{252}$.
$15^2 = 225$.
$16^2 = 256$.
Так как $225 < 252 < 256$, то $\sqrt{225} < \sqrt{252} < \sqrt{256}$.
Следовательно, $15 < \sqrt{252} < 16$, или $15 < 2\sqrt{63} < 16$.
Наименьшее целое число, большее $2\sqrt{63}$, равно 16.
Ответ: 16.

8) Сначала оценим значение $\sqrt{62,6}$.
$7^2 = 49$.
$8^2 = 64$.
Поскольку $49 < 62,6 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{62,6} < \sqrt{64}$.
Это означает, что $7 < \sqrt{62,6} < 8$.
Теперь вычтем 4 из всех частей этого двойного неравенства:
$7 - 4 < \sqrt{62,6} - 4 < 8 - 4$.
$3 < \sqrt{62,6} - 4 < 4$.
Число $\sqrt{62,6} - 4$ находится между 3 и 4. Наименьшее целое число, которое больше этого числа, равно 4.
Ответ: 4.

4.24. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми находится число:

1) $\sqrt{7}$;

2) $\sqrt{17}$;

3) $\sqrt{92}$;

4) $\sqrt{179}$;

5) $\sqrt{876}$;

6) $\sqrt{1245}$;

7) $\sqrt{946,5}$;

8) $\sqrt{1207,45}$.

1) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми находится число $ \sqrt{7} $, нам нужно найти такое натуральное число $ n $, для которого выполняется неравенство $ n < \sqrt{7} < n + 1 $.

Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат. Это возможно, так как все части положительны. Получим равносильное неравенство: $ n^2 < 7 < (n+1)^2 $.

Теперь найдем квадраты последовательных натуральных чисел, чтобы определить, между какими из них находится число 7:
$ 1^2 = 1 $
$ 2^2 = 4 $
$ 3^2 = 9 $

Мы видим, что $ 4 < 7 < 9 $, что соответствует неравенству $ 2^2 < 7 < 3^2 $.

Следовательно, исходное неравенство также выполняется для $ n=2 $: $ 2 < \sqrt{7} < 3 $. Значит, искомые последовательные натуральные числа — это 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

2) Для числа $ \sqrt{17} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n < \sqrt{17} < n+1 $. Это равносильно неравенству $ n^2 < 17 < (n+1)^2 $.

Подбираем квадраты натуральных чисел: $ 4^2 = 16 $ и $ 5^2 = 25 $.

Так как $ 16 < 17 < 25 $, то выполняется неравенство $ 4^2 < 17 < 5^2 $.

Из этого следует, что $ 4 < \sqrt{17} < 5 $. Число $ \sqrt{17} $ находится между натуральными числами 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

3) Для числа $ \sqrt{92} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n < \sqrt{92} < n+1 $, или $ n^2 < 92 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты чисел, близких к $ \sqrt{92} $. Мы знаем, что $ 10^2 = 100 $. Проверим предыдущее число: $ 9^2 = 81 $.

Поскольку $ 81 < 92 < 100 $, то $ 9^2 < 92 < 10^2 $.

Следовательно, $ 9 < \sqrt{92} < 10 $.

Ответ: 9 и 10.

4) Для числа $ \sqrt{179} $ ищем натуральное число $ n $, удовлетворяющее условию $ n^2 < 179 < (n+1)^2 $.

Подбираем квадраты: $ 13^2 = 169 $ и $ 14^2 = 196 $.

Так как $ 169 < 179 < 196 $, то $ 13^2 < 179 < 14^2 $.

Значит, $ 13 < \sqrt{179} < 14 $.

Ответ: 13 и 14.

5) Для числа $ \sqrt{876} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 876 < (n+1)^2 $.

Оценим значение: $ 30^2 = 900 $, что близко к 876. Проверим число 29: $ 29^2 = 841 $.

Получаем неравенство $ 841 < 876 < 900 $, то есть $ 29^2 < 876 < 30^2 $.

Следовательно, $ 29 < \sqrt{876} < 30 $.

Ответ: 29 и 30.

6) Для числа $ \sqrt{1245} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 1245 < (n+1)^2 $.

Оценим значение: $ 30^2 = 900 $, $ 40^2 = 1600 $. Попробуем число, оканчивающееся на 5: $ 35^2 = 1225 $. Следующее число: $ 36^2 = 1296 $.

Имеем $ 1225 < 1245 < 1296 $, что соответствует $ 35^2 < 1245 < 36^2 $.

Таким образом, $ 35 < \sqrt{1245} < 36 $.

Ответ: 35 и 36.

7) Для числа $ \sqrt{946,5} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 946,5 < (n+1)^2 $.

Оценим значение: $ 30^2 = 900 $. Проверим следующее число: $ 31^2 = 961 $.

Получаем, что $ 900 < 946,5 < 961 $, то есть $ 30^2 < 946,5 < 31^2 $.

Следовательно, $ 30 < \sqrt{946,5} < 31 $.

Ответ: 30 и 31.

8) Для числа $ \sqrt{1207,45} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 1207,45 < (n+1)^2 $.

Из пункта 6 мы знаем, что $ 35^2 = 1225 $. Это больше, чем 1207,45. Проверим предыдущее число: $ 34^2 = 1156 $.

Имеем $ 1156 < 1207,45 < 1225 $, то есть $ 34^2 < 1207,45 < 35^2 $.

Таким образом, $ 34 < \sqrt{1207,45} < 35 $.

Ответ: 34 и 35.

4.25. Упростите выражение:

1) $a - 3 + \sqrt{6a + \sqrt{a^4 + 18a^2 + 81}}$ при $a \ge -3;$

2) $2x - 1 + \sqrt{10x + 22 + \sqrt{x^4 + 6x^2 + 9}}$ при $x \ge -5;$

3) $\frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{a - 1} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1};$

4) $\frac{a^2 + a\sqrt{2}}{a^2 + 2} \cdot \left(\frac{a}{a - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{a + \sqrt{2}}\right);$

5) $\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{x - y}{x^2 + xy};$

6) $\left(\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} + 4\sqrt{a}\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{a}{4}} - \frac{1}{\sqrt{4a}}\right).$

1) Рассмотрим выражение под самым внутренним корнем: $a^4 + 18a^2 + 81$. Это полный квадрат суммы: $(a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2 = (a^2 + 9)^2$.
Тогда $\sqrt{a^4 + 18a^2 + 81} = \sqrt{(a^2 + 9)^2} = |a^2 + 9|$. Так как $a^2 \geq 0$, то $a^2 + 9$ всегда положительно, следовательно, $|a^2 + 9| = a^2 + 9$.
Подставим это обратно в исходное выражение: $a - 3 + \sqrt{6a + (a^2 + 9)} = a - 3 + \sqrt{a^2 + 6a + 9}$.
Выражение под оставшимся корнем $a^2 + 6a + 9$ также является полным квадратом: $(a + 3)^2$.
Получаем: $a - 3 + \sqrt{(a + 3)^2} = a - 3 + |a + 3|$.
По условию $a \geq -3$, значит $a + 3 \geq 0$, и $|a + 3| = a + 3$.
Окончательно упрощаем: $a - 3 + (a + 3) = a - 3 + a + 3 = 2a$.
Ответ: $2a$.

2) Упростим выражение под самым внутренним корнем: $x^4 + 6x^2 + 9$. Это полный квадрат суммы: $(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2 + 3)^2$.
Следовательно, $\sqrt{x^4 + 6x^2 + 9} = \sqrt{(x^2 + 3)^2} = |x^2 + 3|$. Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 3 > 0$, и $|x^2 + 3| = x^2 + 3$.
Подставляем в выражение: $2x - 1 + \sqrt{10x + 22 + (x^2 + 3)} = 2x - 1 + \sqrt{x^2 + 10x + 25}$.
Выражение под корнем $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом: $(x + 5)^2$.
Получаем: $2x - 1 + \sqrt{(x + 5)^2} = 2x - 1 + |x + 5|$.
По условию $x \geq -5$, значит $x + 5 \geq 0$, и $|x + 5| = x + 5$.
Упрощаем: $2x - 1 + (x + 5) = 2x - 1 + x + 5 = 3x + 4$.
Ответ: $3x + 4$.

3) Преобразуем первое слагаемое. Числитель $a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2$. Знаменатель $a - 1 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)$ (разность квадратов). Область допустимых значений: $a \geq 0, a \neq 1$.
Таким образом, $\frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{a - 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$.
Так как знаменатели одинаковы, складываем числители: $\frac{\sqrt{a} + 1 + 2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = \frac{3\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}$.

4) Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2}) = a^2 - 2$.
$\frac{a}{a - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{a + \sqrt{2}} = \frac{a(a + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(a - \sqrt{2})}{(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})} = \frac{a^2 + a\sqrt{2} - a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2} = \frac{a^2 + 2}{a^2 - 2}$.
Теперь умножим на первую дробь: $\frac{a^2 + a\sqrt{2}}{a^2 + 2} \cdot \frac{a^2 + 2}{a^2 - 2}$.
Сокращаем $(a^2 + 2)$: $\frac{a^2 + a\sqrt{2}}{a^2 - 2}$.
Вынесем общий множитель в числителе и разложим знаменатель на множители: $\frac{a(a + \sqrt{2})}{(a - \sqrt{2})(a + \sqrt{2})}$.
Сокращаем $(a + \sqrt{2})$: $\frac{a}{a - \sqrt{2}}$.
Ответ: $\frac{a}{a - \sqrt{2}}$.

5) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x - y$.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y} = \frac{x + \sqrt{xy} - \sqrt{xy} + y}{x - y} = \frac{x + y}{x - y}$.
Теперь умножим на вторую дробь: $\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x - y}{x^2 + xy}$.
Сокращаем $(x - y)$: $\frac{x + y}{x^2 + xy}$.
Вынесем $x$ в знаменателе: $\frac{x + y}{x(x + y)}$.
Сокращаем $(x + y)$: $\frac{1}{x}$.
Ответ: $\frac{1}{x}$.

6) Упростим выражение в первой скобке. Сначала разность дробей:
$\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2 - (\sqrt{a} - 1)^2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{(a + 2\sqrt{a} + 1) - (a - 2\sqrt{a} + 1)}{a - 1} = \frac{4\sqrt{a}}{a - 1}$.
Теперь добавим $4\sqrt{a}$: $\frac{4\sqrt{a}}{a - 1} + 4\sqrt{a} = \frac{4\sqrt{a} + 4\sqrt{a}(a - 1)}{a - 1} = \frac{4\sqrt{a} + 4a\sqrt{a} - 4\sqrt{a}}{a - 1} = \frac{4a\sqrt{a}}{a - 1}$.
Упростим вторую скобку: $\sqrt{\frac{a}{4}} - \frac{1}{\sqrt{4a}} = \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - 1}{2\sqrt{a}} = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}$.
Перемножим результаты: $\frac{4a\sqrt{a}}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}$.
Сокращаем $(a-1)$ и $\sqrt{a}$: $\frac{4a}{2} = 2a$.
Ответ: $2a$.

4.26. Решите уравнение:

1) $(x + 1) \cdot \sqrt{3} = x + 3;$

2) $(x - 1) \cdot \sqrt{2} = 2x - 1;$

3) $\sqrt{7x - 1} = 2;$

4) $\sqrt{6 - x} = 2\sqrt{2}.$

1) $(x + 1) \cdot \sqrt{3} = x + 3$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$x\sqrt{3} + \sqrt{3} = x + 3$
Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$x\sqrt{3} - x = 3 - \sqrt{3}$
Вынесем $x$ за скобки в левой части:
$x(\sqrt{3} - 1) = 3 - \sqrt{3}$
В правой части можно вынести за скобки $\sqrt{3}$: $3 - \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.
Получаем уравнение:
$x(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$
Разделим обе части на $(\sqrt{3} - 1)$, так как это выражение не равно нулю:
$x = \sqrt{3}$
Ответ: $x = \sqrt{3}$

2) $(x - 1) \cdot \sqrt{2} = 2x - 1$
Раскроем скобки в левой части:
$x\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть, а константы — в другую:
$1 - \sqrt{2} = 2x - x\sqrt{2}$
Вынесем $x$ за скобки в правой части:
$1 - \sqrt{2} = x(2 - \sqrt{2})$
Выразим $x$:
$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$
Чтобы упростить выражение, преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель: $1 - \sqrt{2} = -(\sqrt{2} - 1)$.
Знаменатель: $2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.
Подставим эти выражения в дробь:
$x = \frac{-(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}$
Сократим дробь на $(\sqrt{2} - 1)$, так как это выражение не равно нулю:
$x = \frac{-1}{\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$x = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) $\sqrt{7x - 1} = 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$7x - 1 \ge 0$
$7x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{7}$
Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{7x - 1})^2 = 2^2$
$7x - 1 = 4$
$7x = 4 + 1$
$7x = 5$
$x = \frac{5}{7}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ: $\frac{5}{7} \ge \frac{1}{7}$. Условие выполнено, следовательно, корень является решением уравнения.
Ответ: $x = \frac{5}{7}$

4) $\sqrt{6 - x} = 2\sqrt{2}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$6 - x \ge 0$
$x \le 6$
Обе части уравнения неотрицательны. Возведем их в квадрат:
$(\sqrt{6 - x})^2 = (2\sqrt{2})^2$
$6 - x = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2$
$6 - x = 4 \cdot 2$
$6 - x = 8$
Перенесем 6 в правую часть:
$-x = 8 - 6$
$-x = 2$
$x = -2$
Проверим, удовлетворяет ли корень условию ОДЗ: $-2 \le 6$. Условие выполнено.
Ответ: $x = -2$

Представив подкоренные выражения в виде полного квадрата, упростите выражения (4.27–4.28):

4.27. 1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ ; 2) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ ; 3) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$ ; 4) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$ .

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение $4 + 2\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Используем формулу для сложных радикалов $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}$, где $C=\sqrt{A^2-B}$. В нашем случае $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{4 + \sqrt{12}}$. Здесь $A=4, B=12$. $C = \sqrt{4^2 - 12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4}=2$. Тогда $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2}{2}} + \sqrt{\frac{4-2}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{1} = \sqrt{3} + 1$.Другой способ — подобрать числа. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=4$ и $2ab = 2\sqrt{3}$ (т.е. $ab=\sqrt{3}$). Подходят числа $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Тогда $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2$.Следовательно, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3}+1| = \sqrt{3}+1$.
Ответ: $\sqrt{3} + 1$.

2) Чтобы упростить выражение $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Сначала преобразуем его так, чтобы перед внутренним корнем стояла двойка: $9 + 4\sqrt{5} = 9 + 2 \cdot 2\sqrt{5} = 9 + 2\sqrt{4 \cdot 5} = 9 + 2\sqrt{20}$.Теперь ищем два числа $a$ и $b$ такие, что их сумма квадратов $a^2+b^2=9$, а их произведение $ab=\sqrt{20}$. Это эквивалентно поиску двух чисел, сумма которых равна 9, а произведение — 20. Это числа 5 и 4.Пусть $a^2=5$ и $b^2=4$, тогда $a=\sqrt{5}$ и $b=2$.Проверяем: $(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.Значит, $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = |\sqrt{5}+2| = \sqrt{5}+2$.
Ответ: $\sqrt{5} + 2$.

3) Чтобы упростить выражение $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$, представим подкоренное выражение $10 - 2\sqrt{21}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.Ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=10$ и $2ab=2\sqrt{21}$ (т.е. $ab=\sqrt{21}$). Это эквивалентно поиску двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 21. Это числа 7 и 3.Пусть $a^2=7$ и $b^2=3$, тогда $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{3}$.Проверяем: $(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$.Значит, $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{3}|$.Так как $7>3$, то $\sqrt{7}>\sqrt{3}$, поэтому $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ — положительное число, и модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

4) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Преобразуем его: $11 - 4\sqrt{7} = 11 - 2 \cdot 2\sqrt{7} = 11 - 2\sqrt{4 \cdot 7} = 11 - 2\sqrt{28}$.Ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение — 28. Это числа 7 и 4.Пусть $a^2=7$ и $b^2=4$, тогда $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{4}=2$.Проверяем: $(\sqrt{7}-2)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7}$.Значит, $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = |\sqrt{7}-2|$.Сравним $\sqrt{7}$ и 2. Так как $7 > 4$, то $\sqrt{7} > \sqrt{4}=2$. Следовательно, разность $\sqrt{7}-2$ положительна, и модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$.

4.28. 1) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}};$

3) $\sqrt{28 + 10\sqrt{3}} - \sqrt{28 - 10\sqrt{3}};$

4) $\sqrt{5 + \sqrt{24}} - \sqrt{7 + \sqrt{48}}.$

1) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $, воспользуемся формулой $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $ для представления подкоренных выражений в виде полных квадратов.Рассмотрим $ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} $. Представим $ 4\sqrt{3} $ в виде $ 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} $. Ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $ a^2+b^2 = 7 $ и $ 2ab = 4\sqrt{3} $. Попробуем $ a=2 $ и $ b=\sqrt{3} $. Проверяем: $ a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7 $. Это верно.Следовательно, $ 7 + 4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2 $.Тогда $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3} $.Аналогично для $ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} $: $ 7 - 4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 $.Тогда $ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| $. Поскольку $ 2=\sqrt{4} > \sqrt{3} $, выражение $ 2-\sqrt{3} $ положительно, и модуль можно опустить: $ 2-\sqrt{3} $.Сложим полученные результаты: $ (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3} = 4 $.Ответ: 4

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} $. Преобразуем подкоренные выражения.Сначала представим $ 6\sqrt{5} $ в виде $ 2 \cdot 3\sqrt{5} = 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2\sqrt{45} $.Теперь выражение $ \sqrt{14 + 2\sqrt{45}} $ можно упростить, найдя два числа, сумма которых равна 14, а произведение — 45. Это числа 9 и 5.Таким образом, $ 14 + 6\sqrt{5} = 9 + 2\sqrt{45} + 5 = (\sqrt{9}+\sqrt{5})^2 = (3+\sqrt{5})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3+\sqrt{5} $.Аналогично, $ 14 - 6\sqrt{5} = (3-\sqrt{5})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}| $. Поскольку $ 3=\sqrt{9} > \sqrt{5} $, выражение $ 3-\sqrt{5} $ положительно, и $ |3-\sqrt{5}| = 3-\sqrt{5} $.Выполним вычитание: $ (3+\sqrt{5}) - (3-\sqrt{5}) = 3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5} = 2\sqrt{5} $.Ответ: $ 2\sqrt{5} $

3) Рассмотрим выражение $ \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} - \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} $. Преобразуем подкоренные выражения.Сначала представим $ 10\sqrt{3} $ в виде $ 2 \cdot 5\sqrt{3} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2\sqrt{75} $.Теперь выражение $ \sqrt{28 + 2\sqrt{75}} $ можно упростить, найдя два числа, сумма которых равна 28, а произведение — 75. Это числа 25 и 3.Таким образом, $ 28 + 10\sqrt{3} = 25 + 2\sqrt{75} + 3 = (\sqrt{25}+\sqrt{3})^2 = (5+\sqrt{3})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{28 + 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5+\sqrt{3})^2} = 5+\sqrt{3} $.Аналогично, $ 28 - 10\sqrt{3} = (5-\sqrt{3})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5-\sqrt{3})^2} = |5-\sqrt{3}| $. Поскольку $ 5=\sqrt{25} > \sqrt{3} $, выражение $ 5-\sqrt{3} $ положительно, и $ |5-\sqrt{3}| = 5-\sqrt{3} $.Выполним вычитание: $ (5+\sqrt{3}) - (5-\sqrt{3}) = 5+\sqrt{3}-5+\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.Ответ: $ 2\sqrt{3} $

4) Рассмотрим выражение $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} - \sqrt{7 + \sqrt{48}} $. Упростим каждый член по отдельности.Для первого члена $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} $:$ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $.Выражение становится $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение 6. Это числа 3 и 2.Значит, $ 5+2\sqrt{6} = 3+2\sqrt{6}+2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} $.Для второго члена $ \sqrt{7 + \sqrt{48}} $:$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{12} $.Выражение становится $ \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} $. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение 12. Это числа 4 и 3.Значит, $ 7+2\sqrt{12} = 4+2\sqrt{12}+3 = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2 $.Следовательно, $ \sqrt{7 + \sqrt{48}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3} $.Теперь выполним вычитание: $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (2+\sqrt{3}) = \sqrt{3}+\sqrt{2}-2-\sqrt{3} = \sqrt{2}-2 $.Ответ: $ \sqrt{2}-2 $