Номер 4.24, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.24. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми находится число:

1) $\sqrt{7}$;

2) $\sqrt{17}$;

3) $\sqrt{92}$;

4) $\sqrt{179}$;

5) $\sqrt{876}$;

6) $\sqrt{1245}$;

7) $\sqrt{946,5}$;

8) $\sqrt{1207,45}$.

1) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми находится число $ \sqrt{7} $, нам нужно найти такое натуральное число $ n $, для которого выполняется неравенство $ n < \sqrt{7} < n + 1 $.

Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат. Это возможно, так как все части положительны. Получим равносильное неравенство: $ n^2 < 7 < (n+1)^2 $.

Теперь найдем квадраты последовательных натуральных чисел, чтобы определить, между какими из них находится число 7:
$ 1^2 = 1 $
$ 2^2 = 4 $
$ 3^2 = 9 $

Мы видим, что $ 4 < 7 < 9 $, что соответствует неравенству $ 2^2 < 7 < 3^2 $.

Следовательно, исходное неравенство также выполняется для $ n=2 $: $ 2 < \sqrt{7} < 3 $. Значит, искомые последовательные натуральные числа — это 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

2) Для числа $ \sqrt{17} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n < \sqrt{17} < n+1 $. Это равносильно неравенству $ n^2 < 17 < (n+1)^2 $.

Подбираем квадраты натуральных чисел: $ 4^2 = 16 $ и $ 5^2 = 25 $.

Так как $ 16 < 17 < 25 $, то выполняется неравенство $ 4^2 < 17 < 5^2 $.

Из этого следует, что $ 4 < \sqrt{17} < 5 $. Число $ \sqrt{17} $ находится между натуральными числами 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

3) Для числа $ \sqrt{92} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n < \sqrt{92} < n+1 $, или $ n^2 < 92 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты чисел, близких к $ \sqrt{92} $. Мы знаем, что $ 10^2 = 100 $. Проверим предыдущее число: $ 9^2 = 81 $.

Поскольку $ 81 < 92 < 100 $, то $ 9^2 < 92 < 10^2 $.

Следовательно, $ 9 < \sqrt{92} < 10 $.

Ответ: 9 и 10.

4) Для числа $ \sqrt{179} $ ищем натуральное число $ n $, удовлетворяющее условию $ n^2 < 179 < (n+1)^2 $.

Подбираем квадраты: $ 13^2 = 169 $ и $ 14^2 = 196 $.

Так как $ 169 < 179 < 196 $, то $ 13^2 < 179 < 14^2 $.

Значит, $ 13 < \sqrt{179} < 14 $.

Ответ: 13 и 14.

5) Для числа $ \sqrt{876} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 876 < (n+1)^2 $.

Оценим значение: $ 30^2 = 900 $, что близко к 876. Проверим число 29: $ 29^2 = 841 $.

Получаем неравенство $ 841 < 876 < 900 $, то есть $ 29^2 < 876 < 30^2 $.

Следовательно, $ 29 < \sqrt{876} < 30 $.

Ответ: 29 и 30.

6) Для числа $ \sqrt{1245} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 1245 < (n+1)^2 $.

Оценим значение: $ 30^2 = 900 $, $ 40^2 = 1600 $. Попробуем число, оканчивающееся на 5: $ 35^2 = 1225 $. Следующее число: $ 36^2 = 1296 $.

Имеем $ 1225 < 1245 < 1296 $, что соответствует $ 35^2 < 1245 < 36^2 $.

Таким образом, $ 35 < \sqrt{1245} < 36 $.

Ответ: 35 и 36.

7) Для числа $ \sqrt{946,5} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 946,5 < (n+1)^2 $.

Оценим значение: $ 30^2 = 900 $. Проверим следующее число: $ 31^2 = 961 $.

Получаем, что $ 900 < 946,5 < 961 $, то есть $ 30^2 < 946,5 < 31^2 $.

Следовательно, $ 30 < \sqrt{946,5} < 31 $.

Ответ: 30 и 31.

8) Для числа $ \sqrt{1207,45} $ ищем натуральное число $ n $, такое что $ n^2 < 1207,45 < (n+1)^2 $.

Из пункта 6 мы знаем, что $ 35^2 = 1225 $. Это больше, чем 1207,45. Проверим предыдущее число: $ 34^2 = 1156 $.

Имеем $ 1156 < 1207,45 < 1225 $, то есть $ 34^2 < 1207,45 < 35^2 $.

Таким образом, $ 34 < \sqrt{1207,45} < 35 $.

Ответ: 34 и 35.