Номер 4.18, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.18. Выполните действия:

1) $(4 - 3\sqrt{a})(4 + 3\sqrt{a}) - 4a;$

2) $(5 - \sqrt{2a})(5 + \sqrt{2a}) - (4a - 20);$

3) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{a}) - 4\sqrt{3};$

4) $2a - (2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a}).$

1) В выражении $(4 - 3\sqrt{a})(4 + 3\sqrt{a}) - 4a$ для раскрытия скобок воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=4$ и $y=3\sqrt{a}$.
$(4 - 3\sqrt{a})(4 + 3\sqrt{a}) = 4^2 - (3\sqrt{a})^2 = 16 - 9a$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$16 - 9a - 4a = 16 - (9a + 4a) = 16 - 13a$.
Ответ: $16 - 13a$.

2) В выражении $(5 - \sqrt{2a})(5 + \sqrt{2a}) - (4a - 20)$ также применяем формулу разности квадратов к произведению скобок, где $x=5$ и $y=\sqrt{2a}$.
$(5 - \sqrt{2a})(5 + \sqrt{2a}) = 5^2 - (\sqrt{2a})^2 = 25 - 2a$.
Подставляем результат в исходное выражение и раскрываем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$25 - 2a - (4a - 20) = 25 - 2a - 4a + 20$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(25 + 20) + (-2a - 4a) = 45 - 6a$.
Ответ: $45 - 6a$.

3) В выражении $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2 + 3\sqrt{a}) - 4\sqrt{3}$ первые члены в скобках различны ($2\sqrt{3}$ и $2$), поэтому необходимо раскрыть скобки путем перемножения каждого члена первой скобки на каждый член второй:
$(2\sqrt{3} - 3\sqrt{a})(2 + 3\sqrt{a}) = 2\sqrt{3} \cdot 2 + 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{a} - 3\sqrt{a} \cdot 2 - 3\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} = 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a$.
Теперь подставим это в полное выражение:
$(4\sqrt{3} + 6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a) - 4\sqrt{3}$.
Взаимно уничтожаем слагаемые $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$:
$6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a$.
Ответ: $6\sqrt{3a} - 6\sqrt{a} - 9a$.

4) В выражении $2a - (2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a})$ сначала упростим произведение в скобках, используя формулу разности квадратов, где $x=2\sqrt{7}$ и $y=\sqrt{7a}$.
$(2\sqrt{7} - \sqrt{7a})(2\sqrt{7} + \sqrt{7a}) = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{7a})^2 = 4 \cdot 7 - 7a = 28 - 7a$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$2a - (28 - 7a) = 2a - 28 + 7a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2a + 7a) - 28 = 9a - 28$.
Ответ: $9a - 28$.