Номер 4.20, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.20. Освободите от иррациональности числитель дроби:

1) $\frac{5 - \sqrt{a}}{2}$ ;

2) $\frac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$ ;

3) $\frac{\sqrt{3} + c}{c - \sqrt{3}}$ ;

4) $\frac{8y - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - y}$ ;

5) $\frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{3} + a}$ ;

6) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$ .

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{5 - \sqrt{a}}{2}$, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $5 + \sqrt{a}$.

$\frac{5 - \sqrt{a}}{2} = \frac{(5 - \sqrt{a})(5 + \sqrt{a})}{2(5 + \sqrt{a})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$(5 - \sqrt{a})(5 + \sqrt{a}) = 5^2 - (\sqrt{a})^2 = 25 - a$.

Преобразуем знаменатель:

$2(5 + \sqrt{a}) = 10 + 2\sqrt{a}$.

В результате получаем дробь:

$\frac{25 - a}{2(5 + \sqrt{a})}$

Ответ: $\frac{25 - a}{2(5 + \sqrt{a})}$.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $2 - \sqrt{a}$.

$\frac{2 + \sqrt{a}}{2\sqrt{a}} = \frac{(2 + \sqrt{a})(2 - \sqrt{a})}{2\sqrt{a}(2 - \sqrt{a})}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(2 + \sqrt{a})(2 - \sqrt{a}) = 2^2 - (\sqrt{a})^2 = 4 - a$.

Преобразуем знаменатель:

$2\sqrt{a}(2 - \sqrt{a}) = 4\sqrt{a} - 2(\sqrt{a})^2 = 4\sqrt{a} - 2a$.

Полученная дробь:

$\frac{4 - a}{4\sqrt{a} - 2a}$

Ответ: $\frac{4 - a}{4\sqrt{a} - 2a}$.

3) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{3} + c}{c - \sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $\sqrt{3} - c$.

$\frac{\sqrt{3} + c}{c - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} + c)(\sqrt{3} - c)}{(c - \sqrt{3})(\sqrt{3} - c)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{3} + c)(\sqrt{3} - c) = (\sqrt{3})^2 - c^2 = 3 - c^2$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(c - \sqrt{3})(\sqrt{3} - c) = c\sqrt{3} - c^2 - (\sqrt{3})^2 + c\sqrt{3} = 2c\sqrt{3} - c^2 - 3$.

Полученная дробь:

$\frac{3 - c^2}{2c\sqrt{3} - c^2 - 3}$

Ответ: $\frac{3 - c^2}{2c\sqrt{3} - c^2 - 3}$.

4) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{8y - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - y}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $8y + \sqrt{5}$.

$\frac{8y - \sqrt{5}}{\sqrt{5} - y} = \frac{(8y - \sqrt{5})(8y + \sqrt{5})}{(\sqrt{5} - y)(8y + \sqrt{5})}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(8y - \sqrt{5})(8y + \sqrt{5}) = (8y)^2 - (\sqrt{5})^2 = 64y^2 - 5$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(\sqrt{5} - y)(8y + \sqrt{5}) = 8y\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 8y^2 - y\sqrt{5} = 7y\sqrt{5} + 5 - 8y^2$.

Полученная дробь:

$\frac{64y^2 - 5}{7y\sqrt{5} - 8y^2 + 5}$

Ответ: $\frac{64y^2 - 5}{7y\sqrt{5} - 8y^2 + 5}$.

5) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{3} + a}$, умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение $3\sqrt{a} + 1$.

$\frac{3\sqrt{a} - 1}{\sqrt{3} + a} = \frac{(3\sqrt{a} - 1)(3\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{3} + a)(3\sqrt{a} + 1)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов:

$(3\sqrt{a} - 1)(3\sqrt{a} + 1) = (3\sqrt{a})^2 - 1^2 = 9a - 1$.

Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:

$(\sqrt{3} + a)(3\sqrt{a} + 1) = \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{a} + \sqrt{3} \cdot 1 + a \cdot 3\sqrt{a} + a \cdot 1 = 3\sqrt{3a} + \sqrt{3} + 3a\sqrt{a} + a$.

Полученная дробь:

$\frac{9a - 1}{3\sqrt{3a} + \sqrt{3} + 3a\sqrt{a} + a}$

Ответ: $\frac{9a - 1}{3\sqrt{3a} + \sqrt{3} + 3a\sqrt{a} + a}$.

6) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$, нужно умножить числитель и знаменатель на сам числитель, то есть на $\sqrt{7}$.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{(\sqrt{7} + \sqrt{2})\sqrt{7}}$

Преобразуем числитель:

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 = 7$.

Преобразуем знаменатель:

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + \sqrt{2}\sqrt{7} = 7 + \sqrt{14}$.

Полученная дробь:

$\frac{7}{7 + \sqrt{14}}$

Ответ: $\frac{7}{7 + \sqrt{14}}$.