Номер 4.26, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.26. Решите уравнение:

1) $(x + 1) \cdot \sqrt{3} = x + 3;$

2) $(x - 1) \cdot \sqrt{2} = 2x - 1;$

3) $\sqrt{7x - 1} = 2;$

4) $\sqrt{6 - x} = 2\sqrt{2}.$

1) $(x + 1) \cdot \sqrt{3} = x + 3$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$x\sqrt{3} + \sqrt{3} = x + 3$
Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$x\sqrt{3} - x = 3 - \sqrt{3}$
Вынесем $x$ за скобки в левой части:
$x(\sqrt{3} - 1) = 3 - \sqrt{3}$
В правой части можно вынести за скобки $\sqrt{3}$: $3 - \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.
Получаем уравнение:
$x(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$
Разделим обе части на $(\sqrt{3} - 1)$, так как это выражение не равно нулю:
$x = \sqrt{3}$
Ответ: $x = \sqrt{3}$

2) $(x - 1) \cdot \sqrt{2} = 2x - 1$
Раскроем скобки в левой части:
$x\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2x - 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть, а константы — в другую:
$1 - \sqrt{2} = 2x - x\sqrt{2}$
Вынесем $x$ за скобки в правой части:
$1 - \sqrt{2} = x(2 - \sqrt{2})$
Выразим $x$:
$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$
Чтобы упростить выражение, преобразуем числитель и знаменатель.
Числитель: $1 - \sqrt{2} = -(\sqrt{2} - 1)$.
Знаменатель: $2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.
Подставим эти выражения в дробь:
$x = \frac{-(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}$
Сократим дробь на $(\sqrt{2} - 1)$, так как это выражение не равно нулю:
$x = \frac{-1}{\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$x = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) $\sqrt{7x - 1} = 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$7x - 1 \ge 0$
$7x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{7}$
Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{7x - 1})^2 = 2^2$
$7x - 1 = 4$
$7x = 4 + 1$
$7x = 5$
$x = \frac{5}{7}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию ОДЗ: $\frac{5}{7} \ge \frac{1}{7}$. Условие выполнено, следовательно, корень является решением уравнения.
Ответ: $x = \frac{5}{7}$

4) $\sqrt{6 - x} = 2\sqrt{2}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$6 - x \ge 0$
$x \le 6$
Обе части уравнения неотрицательны. Возведем их в квадрат:
$(\sqrt{6 - x})^2 = (2\sqrt{2})^2$
$6 - x = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2$
$6 - x = 4 \cdot 2$
$6 - x = 8$
Перенесем 6 в правую часть:
$-x = 8 - 6$
$-x = 2$
$x = -2$
Проверим, удовлетворяет ли корень условию ОДЗ: $-2 \le 6$. Условие выполнено.
Ответ: $x = -2$