Номер 4.29, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.29. Упростите выражение:

1) $\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$;

2) $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} $;

3) $\sqrt{17 + \sqrt{288}} $;

4) $\sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}} $ при $a \geq 2$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{17 - 4\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}}$, начнем с самого внутреннего радикала: $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$. Постараемся представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Перепишем $9 + 4\sqrt{5}$ как $9 + 2 \cdot 2\sqrt{5}$. Можно предположить, что $2xy = 2 \cdot 2\sqrt{5}$, откуда $x=2$ и $y=\sqrt{5}$. Проверим, сходится ли сумма квадратов: $x^2+y^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4+5=9$. Это соответствует действительности. Значит, $9+4\sqrt{5} = (2+\sqrt{5})^2$.
Тогда $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} = |2+\sqrt{5}| = 2+\sqrt{5}$.
Подставим это обратно в исходное выражение:$\sqrt{17 - 4(2+\sqrt{5})} = \sqrt{17 - 8 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.
Снова применим тот же метод. Представим $9 - 4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.$9 - 4\sqrt{5} = 9 - 2 \cdot 2\sqrt{5}$. Снова $x=2, y=\sqrt{5}$. Тогда $x^2+y^2 = 4+5=9$.Следовательно, $9 - 4\sqrt{5} = (2-\sqrt{5})^2$. Однако, чтобы результат извлечения корня был положительным, мы должны записать квадрат как $(\sqrt{5}-2)^2$, так как $\sqrt{5} > 2$.Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.
Ответ: $\sqrt{5}-2$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}$ воспользуемся тем же подходом, что и в предыдущем задании. Представим подкоренное выражение $28 - 16\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(x-y)^2$. Сначала вынесем 2 из-под знака корня в слагаемом $16\sqrt{3}$, чтобы получить вид $A-2\sqrt{B}$.$28 - 16\sqrt{3} = 28 - 2 \cdot 8\sqrt{3}$. Чтобы было удобнее, внесем 8 под знак корня: $28 - 2\sqrt{8^2 \cdot 3} = 28 - 2\sqrt{64 \cdot 3} = 28 - 2\sqrt{192}$.
Теперь ищем два числа, сумма которых равна 28, а произведение равно 192. Это числа 16 и 12, так как $16+12=28$ и $16 \cdot 12=192$.
Следовательно, $28 - 2\sqrt{192} = (\sqrt{16} - \sqrt{12})^2$.
Тогда $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{16}-\sqrt{12})^2} = |\sqrt{16}-\sqrt{12}| = 4 - \sqrt{4 \cdot 3} = 4 - 2\sqrt{3}$.Поскольку $4 > 2\sqrt{3}$ (так как $16 > 12$), результат является положительным.
Ответ: $4 - 2\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$. Сначала упростим внутренний радикал: $\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.Исходное выражение принимает вид $\sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(x+y)^2$. Для этого приведем его к виду $A+2\sqrt{B}$.$17 + 12\sqrt{2} = 17 + 2 \cdot 6\sqrt{2} = 17 + 2\sqrt{36 \cdot 2} = 17 + 2\sqrt{72}$.
Теперь ищем два числа, сумма которых равна 17, а произведение равно 72. Это числа 9 и 8, так как $9+8=17$ и $9 \cdot 8=72$.
Следовательно, $17 + 2\sqrt{72} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2$.
Тогда $\sqrt{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{(\sqrt{9}+\sqrt{8})^2} = |\sqrt{9}+\sqrt{8}| = 3 + \sqrt{4 \cdot 2} = 3 + 2\sqrt{2}$.
Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

4) Упростим выражение $\sqrt{a - 2\sqrt{a-1}}$ при условии $a \ge 2$.Подкоренное выражение имеет вид $X-2\sqrt{Y}$, где $X=a$ и $Y=a-1$. Мы можем представить его в виде полного квадрата.Попробуем представить $a$ в виде суммы: $a = (a-1) + 1$.Тогда $a - 2\sqrt{a-1} = (a-1) - 2\sqrt{a-1} + 1$.Это выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt{a-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt{(\sqrt{a-1}-1)^2} = |\sqrt{a-1}-1|$.
Теперь рассмотрим условие $a \ge 2$.Если $a \ge 2$, то $a-1 \ge 1$.Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{a-1} \ge \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{a-1} \ge 1$.Отсюда следует, что $\sqrt{a-1} - 1 \ge 0$.Поскольку выражение под знаком модуля неотрицательно, модуль можно опустить: $|\sqrt{a-1}-1| = \sqrt{a-1}-1$.
Ответ: $\sqrt{a-1}-1$.