Номер 4.36, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.36. Решите уравнение:

1) $9x^2 = 25;$

2) $(2y - 1)^2 = 8;$

3) $x^2 - 10x + 25 = 36;$

4) $2x^2 - 16x + 32 = 0.$

1) Дано уравнение $9x^2 = 25$.

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 9:

$x^2 = \frac{25}{9}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Следует помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{\frac{25}{9}}$

Вычисляем значение корня:

$x = \pm\frac{5}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$.

2) Дано уравнение $(2y - 1)^2 = 8$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2y - 1 = \pm\sqrt{8}$

Упростим выражение $\sqrt{8}$, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Уравнение принимает вид:

$2y - 1 = \pm 2\sqrt{2}$

Это равенство распадается на два линейных уравнения:

а) $2y - 1 = 2\sqrt{2}$

$2y = 1 + 2\sqrt{2}$

$y_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$

б) $2y - 1 = -2\sqrt{2}$

$2y = 1 - 2\sqrt{2}$

$y_2 = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $y_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}, y_2 = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2}$.

3) Дано уравнение $x^2 - 10x + 25 = 36$.

Обратим внимание на левую часть уравнения. Выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a=x$ и $b=5$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$

Заменим левую часть уравнения на полученный квадрат разности:

$(x - 5)^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 5 = \pm\sqrt{36}$

$x - 5 = \pm 6$

Получаем два случая:

а) $x - 5 = 6 \implies x = 6 + 5 \implies x_1 = 11$

б) $x - 5 = -6 \implies x = -6 + 5 \implies x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = 11, x_2 = -1$.

4) Дано уравнение $2x^2 - 16x + 32 = 0$.

Для упрощения уравнения разделим все его члены на общий множитель 2:

$\frac{2x^2}{2} - \frac{16x}{2} + \frac{32}{2} = \frac{0}{2}$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Левая часть этого уравнения также представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$.

Запишем уравнение в новом виде:

$(x - 4)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$x - 4 = 0$

Отсюда находим x:

$x = 4$

Уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $x = 4$.